BAB 11 TEORI DASAR GELOMBANG BIDANG DASAR
Dalam bab ini kita akan menerapkan persamaan Maxwell untuk
memperkenalkan teori dasar gerakan gelombang.
11.1 PROPAGASI GELOMBANG DI RUANG BEBAS
Untuk mempertimbangkan gerakan gelombang di ruang bebas
terlebih dahulu, persamaan Maxwell dapat ditulis dalam bentuk E dan H hanya
sebagai
∇ x H = 𝜖₀ ∂E⁄∂t (1)
∇ x E =
- μ₀ ∂H⁄∂t (2)
∇ . E = 0 (3)
∇ . H = 0 (4)
Kami berasumsi bahwa komponen Ex diberikan sebagai
Ex
= E(x,y,z) cos (ωt + ψ) (5)
Di mana E (x, y, z) adalah fungsi nyata dari x, y, z dan
mungkin ω, tetapi ψ adalah sebuah sudut fasa yang mungkin juga merupakan fungsi
dari x, y, z dan. Memanfaatkan identitas Euler,
e j ω t = cos ωt + j sin ωt
kita biarkan
Ex + Re[E(x,y,z)ej(ωt+ ψ) ] = Re[E(x,y,z)ejψejωt] (6)
Dimana Re menandakan bahwa bagian sebenarnya dari kuantitas
berikut harus diambil. Jika kita kemudian menyederhanakan nomenklatur dengan
menjatuhkan Re dan menekan ejωt, kuantitas bidang yang kita identifikasi dengan
menggunakan subscript s, Exs. Dengan demikian
Es = Exs ax
Contoh 11.1
Mari kita ekspresikan Ey = 100 cos (10⁸t - 0.5z + 30 °) V /
m sebagai fasor.
Larutan. Kami pertama kali pergi ke notasi eksponensial,
Ey = Re[100ej(10⁸t-0.5z+30°)]
Perhatikan bahwa Ey itu nyata, tetapi Eys secara umum
kompleks. Perhatikan juga bahwa nomenklatur campuran umumnya digunakan untuk
sudut. Yaitu 0.5z dalam radian, sementara 30 ° dalam derajat. Dengan mempertimbangkan komponen skalar atau vektor yang
dinyatakan sebagai fasor, kami dapat dengan mudah memulihkan ekspresi
waktu-domain.
Metode dimana persamaan gelombang diperoleh dapat
diselesaikan dalam satu baris (menggunakan empat tanda yang sama pada selembar
kertas yang lebih luas):
∇ x ∇ x Es = ∇ (∇. Es ) - ∇2
Es = -jωμ0 ∇ x Hs
= ω2
μ0 €0Es
= - ∇2Es
Sejak ∇. Es = 0. Dengan demikian
∇2 Es
= -k02
Es (7)
Dimana k0, bilangan ruang ruang kosong, didefinisikan
sebagai
K0 = ω √μ₀€₀ (8)
Persamaan (7) dikenal sebagai persamaan vestor Helmholtz. Komponen
x (7) menjadi, masih menggunakan notasi del-operator,
∇2 Exs
= -k02 Exs (9)
Dan ekspansi operator mengarah ke persamaan diferensial
parsial parsial
Mari kita coba solusi (10) dengan mengasumsikan bahwa solusi
sederhana adalah mungkin di mana Exs tidak bervariasi dengan x atau y, sehingga
dua turunan yang sesuai adalah xzero, yang mengarah ke persamaan diferensial
biasa
Dengan inspeksi, kami dapat menuliskan satu solusi dari
(11):
Exs = Ex0e-jk0z (12)
Selanjutnya, kita masukkan kembali faktor ejωt dan ambil
bagian yang sebenarnya,
Ex(z,t) =
cos (ωt – k0z) (13)
Di mana faktor amplitudo, Ex0, adalah nilai Ex pada z = 0, t
= 0. Soal 1 di akhir bab menunjukkan bahwa
E’x(z,t) = E’x0 cos (ωt + k0z) (14)
Juga dapat diperoleh dari solusi alternatif dari persamaan
vektor Helmholtz.
Kita melihat bahwa bidang (13) dan (14) adalah komponen x,
yang dapat kita gambarkan sebagai diarahkan ke atas pada permukaan bumi. The
radikal √μ0
€0, terkandung dalam k0, memiliki nilai perkiraan 1 (3x108) s
/ m, yang merupakan timbal balik c, kecepatan cahaya dalam ruang bebas,
c =
= 2.998 x 108 = 3 x 108 =
3 x 108 m/s
Kita dapat menulis k0 = ω / c, dan Persamaan. (13),
misalnya, dapat ditulis ulang sebagai
Ex (z,t) = Ex0 cos [ω (t – z/c)] (15)
Sifat gelombang propagasi dari bidang seperti yang
dinyatakan dalam (13), (14), dan (15) sekarang dapat dilihat. Pertama, misalkan
kita harus memperbaiki waktu pada t = 0. Persamaan. (15) kemudian menjadi
Ex (z,0) = Ex0 cos (wz⁄c) = Ex0 cos (k0z) (16)
Yang kami identifikasi sebagai fungsi periodik sederhana
yang mengulang setiap jarak tambahan λ, yang dikenal sebagai panjang gelombang.
Persyaratannya adalah k0λ = 2π, dan sebagainya
Λ = 2π⁄k₀ = c⁄f = 3x10⁸⁄f (free space) (17)
Sekarang anggaplah kita mempertimbangkan beberapa titik (seperti
puncak gelombang) pada fungsi kosinus dari Persamaan. (21). Untuk lambang untuk
coccur, argumen kosinus harus merupakan kelipatan bilangan bulat 2π.
Mempertimbangkan puncak mth dari gelombang, kondisi menjadi
K0z = 2mπ
Dari (13) dan (14) kondisi kita sekarang menjadi
ωt – k0z = ω(t – z/c) = 2mπ (18)
kembali ke persamaan Maxwell, dan tentukan
bentuk bidang H. Diberikan Es, Hs, paling mudah diperoleh dari (9);
∆ x Es
= -jωμ0Hs (9)
Yang sangat disederhanakan untuk komponen Exs tunggal yang
bervariasi hanya dengan z,
Menggunakan (17) untuk Exs, kita punya
Hys = -
(-jk0)Ex0e-jk0z =
Ex0
e-jk0z
Dalam bentuk instan yang nyata, ini menjadi
Hy (z,t) = Ex0
cos (ωt – k0z) (19)
Gelombang ini disebut gelombang bidang seragam karena
nilainya seragam di seluruh bidang apa pun, z = konstan. Ini mewakili aliran
energi dalam arah z positif. Baik medan listrik dan magnetis tegak lurus
terhadap arah propagasi, atau keduanya terletak pada bidang yang melintang ke
arah propagasi; gelombang bidang seragam adalah gelombang elektromagnetik
transversal, atau gelombang TEM.
Beberapa perasaan untuk cara di mana bidang bervariasi dalam
ruang dapat diperoleh dari Gambar 11.1a dan 11.1b. Intensitas medan listrik
pada Gambar. 11.1a ditunjukkan pada t = 0, dan nilai sesaat dari medan
digambarkan sepanjang tiga garis, sumbu z dan garis acak sejajar dengan sumbu z
dalam bidang x = 0 dan y = 0 . Karena bidangnya seragam dalam bidang tegak
lurus terhadap sumbu z, variasi sepanjang ketiga garis adalah sama. Satu siklus
lengkap variasi terjadi dalam panjang gelombang, λ.
11.2 PROPAGASI GELOMBANG DALAM DIELEKTRIKA
Gelombang bidang yang
seragam untuk propagasi dalam dielektrik permeabilitas dan permeabilitas μ.
Medium isotropic dan homogeneous, dan persamaan gelombang sekarang
∆2Es = -k2Es (20)
Di mana bilangan gelombang sekarang menjadi fungsi dari
sifat material:
k = ω√μ𝜖 = k0 √μR𝜖R (21)
Fitur penting dari propagasi gelombang dalam dielektrik
adalah bahwa k dapat bernilai kompleks, dan dengan demikian disebut sebagai
konstanta propagasi kompleks.
Mengalikan dengan cara dan mengambil bagian nyata
menghasilkan bentuk bidang yang dapat lebih mudah divisualisasikan:
Ex = Ex0e-az cos (ωt – βz) (25)
Koefisien atenuasi diukur dalam nepers per meter (Np / m)
agar eksponen e diukur dalam unit tanpa dimensi nepers. Jadi, jika α = 0,01 Np
/ m, amplitudo puncak gelombang pada z = 50 m akan menjadi e-0,5 / e-0 = 0,607
nilainya pada z = 0. Dalam menempuh jarak 1 / α di + z arah, amplitudo
gelombang dikurangi oleh faktor akrab e-1, atau 0,368.
11.3 VEKTOR DAN PERTIMBANGAN KEKUATAN POYNTING
Jika kita mengasumsikan bahwa tidak ada sumber dalam volume, maka integral pertama di sebelah kanan adalah kekuatan total ohm (tetapi seketika) yang hilang dalam volume. Jika sumber hadir di dalam volume, maka hasil pengintegrasian atas volume sumber akan positif jika daya dikirimkan ke sumber, tetapi akan menjadi negatif jika daya dikirimkan oleh sumber.
di mana integral adalah di atas permukaan tertutup yang mengelilingi volume. Produk silang E x H dikenal sebagai vektor Poynting,
11.3 VEKTOR DAN PERTIMBANGAN KEKUATAN POYNTING
Jika kita mengasumsikan bahwa tidak ada sumber dalam volume, maka integral pertama di sebelah kanan adalah kekuatan total ohm (tetapi seketika) yang hilang dalam volume. Jika sumber hadir di dalam volume, maka hasil pengintegrasian atas volume sumber akan positif jika daya dikirimkan ke sumber, tetapi akan menjadi negatif jika daya dikirimkan oleh sumber.
Integral
dalam istilah kedua di sebelah kanan adalah total energi yang tersimpan di
medan listrik dan magnet, 4 dan turunan parsial sehubungan dengan waktu
menyebabkan istilah ini menjadi tingkat waktu peningkatan energi yang tersimpan
dalam volume ini, atau seketika kekuatan akan meningkatkan energi yang
tersimpan dalam volume ini. Jumlah dari ekspresi di sebelah kanan oleh karena
itu harus menjadi kekuatan total yang mengalir ke dalam volume ini, dan dengan
demikian kekuatan total yang mengalir keluar dari volume adalah
di mana integral adalah di atas permukaan tertutup yang mengelilingi volume. Produk silang E x H dikenal sebagai vektor Poynting,
yang ditafsirkan sebagai kepadatan daya sesaat,
diukur dalam watt per meter persegi (W / m2). Interpretasi ini tunduk pada
pertimbangan filosofis yang sama seperti deskripsi (D • E) / 2 atau (B • H) / 2
sebagai intensitas energi. Kita dapat menunjukkan dengan seksama bahwa
integrasi vektor Poynting di atas permukaan tertutup menghasilkan kekuatan
total yang melintasi permukaan dalam arti luar. Penafsiran ini sebagai densitas
daya tidak menyebabkan kita tersesat, namun, terutama ketika diterapkan pada
bidang y bervariasi sinusoidal. Soal 11.18 menunjukkan bahwa hasil aneh dapat
ditemukan ketika vektor Poynting diterapkan ke bidang waktu-konstan.
Arah
vektor P menunjukkan arah aliran daya sesaat pada titik tersebut, dan banyak
dari kita berpikir tentang vektor Poynting sebagai vektor "menunjuk".
Homonim ini, sementara tidak disengaja, benar.
Karena
P diberikan oleh produk silang E dan H, arah
aliran daya pada titik manapun adalah normal untuk kedua vektor E dan H. Ini
tentu saja sesuai dengan pengalaman kami dengan gelombang bidang seragam, untuk
propagasi dalam arah + z dikaitkan dengan Ex dan 113, komponen,
Dalam dielektrik yang sempurna, bidang E dan H ini
diberikan oleh
dan dengan
demikian
Untuk menemukan kerapatan daya waktu rata-rata, kami mengintegrasikan
lebih dari satu siklus dan membagi berdasarkan periode
11.4 PROPAGASI DALAM KONDUKTOR BAIK: PENGARUH KULIT
Sebagai studi tambahan
tentang propaganda dengan kehilangan, kita akan menyelidiki perilaku
pemenggalan yang baik ketika gelombang pesawat yang tidak sama terbentuk di
dalamnya. Daripada memikirkan sumber yang tertanam dalam blok tembaga dan
meluncurkan gelombang dalam materi itu, kita harus lebih tertarik pada
gelombang yang dibentuk oleh medan elektromagnetik yang ada di beberapa
dielektrik eksternal yang berdekatan dengan permukaan konduktor. Kita akan
melihat bahwa transmisi utama energi harus terjadi di wilayah di luar
konduktor, karena semua bidang yang bervariasi waktu sangat cepat menipis dalam
sebuah konduktor yang baik.
Konduktor yang baik memiliki konduktivitas yang tinggi
dan arus konduksi yang besar. Energi yang diwakili oleh gelombang bepergian
melalui material sehingga menurun sebagai gelombang merambat karena kerugian
ohmik terus ada. Ketika kita membahas kehilangan tangen, kita melihat bahwa
rasio densitas arus konduksi dengan kerapatan arus perpindahan dalam bahan
pengantar diberikan oleh α / Ѡ €. Memilih konduktor logam yang buruk dan
frekuensi yang sangat tinggi sebagai contoh konservatif, 〖rasio〗 ^ 6 untuk nikrom (α = 〖10〗 ^ 6) pada 100 MHz adalah
sekitar 2 X 〖10〗 ^ 8. Jadi kita memiliki situasi di mana α / Ѡ € ’>> 1, dan kita
harus mampu membuat beberapa perkiraan yang sangat bagus untuk menemukan α, ß,
dan ƞ untuk konduktor yang baik. Ekspresi umum untuk
konstanta propagasi adalah
Terlepas dari parameter µ dan α dari konduktor
atau frekuensi bidang yang diterapkan, α dan ß adalah sama. Jika kita berasumsi
lagi hanya komponen E_x yang berjalan dalam arah + z kemudian
Kita dapat mengikat bidang
ini dalam konduktor ke bidang eksternal di permukaan konduktor. Kami membiarkan daerah
z> 0 menjadi konduktor kesalahan dan daerah z <0 menjadi dielektrik yang
sempurna. Pada permukaan batas z = 0
Ini akan kita anggap
sebagai bidang sumber yang menetapkan bidang di dalam konduktor. arus perpindahan dapat diabaikan
Dengan demikian, kerapatan arus konduksi pada titik manapun di dalam konduktor berhubungan langsung dengan E :
Mempertimbangkan pertama istilah eksponensial negatif, kita menemukan penurunan eksponen dalam kerapatan arus konduksi dan intensitas medan listrik dengan penetrasi ke konduktor (jauh dari sumber). Faktor eksponensial adalah kesatuan pada z = dan menurun menjadi e ^ (- 1) = 0,368 saat
Jarak ini dilambangkan dengan δ dan disebut kedalaman penetrasi, atau kedalaman kulit,
Ini adalah perameter penting dalam menggambarkan perilaku konduktor di bidang elektromagnetik. Untuk mendapatkan gambaran tentang besarnya kedalaman kulit, mari kita pertimbangan tenaga, α = 5,8 x 〖10〗 ^ 7 S
/ m, pada beberapa frekuensi yang berbeda. Kita punya
Dinyatakan lebih umum, semua bidang konduktor yang baik seperti tembaha pada dasarnya nol pada jarak yang
lebih besar dari beberapa kedalaman kulit dari permukaan. Kepadatan
arus atau intensitas medan listrik yang terbentuk di permukaan konduktor yang baik akan membusuk
dengan cepat saat kita maju ke konduktor. Energi elektromagnetik tidak ditransmisikan dalam interior konduktor hanya memandu gelombang. Kami akan mempertimbangkan propagasi dipandu secara lebih rinci di Bab 13 dan 14.
Misalkan kita memiliki
bar bus tembaga di gardu sebuah perusahaan utilitas listrik yang kita ingin
memiliki arus besar, dan oleh karena itu kita memilih dimensi 2 oleh 4 masuk Kemudian banyak
dari tembaga terbuang, karena ladang sangat berkurang satu kedalaman kulit, sekitar
1 / 3in. Konduktor berongga dengan dinding Ketebalan sekitar ½ inci akan menjadi desain yang
jauh lebih baik. Meskipun kami menerapkan hasil analisis untuk sebuah konduktor
planar tak terbatas ke salah satu dimensi berhingga, bidang dilemahkan dalam konduktor berukuran
terbatas dengan cara yang serupa (tetapi nit identik). Kedalaman kulit yang
sangat pendek pada frekuensi gelombang mikro menunjukkan bahwa hanya lapisan
permukaan dari konduktor pemandu yang penting.
Sepotong kaca dengan
permukaan perak menguap 0,0001 tebal adalah konduktor yang sangat baik pada
frekuensi ini. Selanjutnya, mari kita tentukan
ungkapan untuk kecepatan dan panjang gelombang dalam suatu konduktor yang baik.
kita sudah punya
Untuk tembaga pada 60 Hz, λ = 5,36 cm dan v_p = 3,22
ms / s, atau sekitar 7,2 mil / jam.
Banyak dari kita bisa berlari lebih cepat dari itu. Di ruang bebas, tentu saja,
panjang gelombang 60-Hz dari 3100 mil dan bergerak dengan kecepatan cahaya.
11.5 POLARIZASI GELOMBANG
Pada bagian sebelumnya, kita telah
memperlakukan gelombang pesawat yang tidak rata di mana vektor medan listrik
dan magnet diasumsikan berada dalam arah yang tetap. Secara khusus, dengan
gelombang merambat sepanjang sumbu z, E diambil untuk berbaring di sepanjang x,
yang kemudian membutuhkan H untuk berbaring di sepanjang y. Hubungan ortogonal antara EH dan P ini selalu benar untuk gelombang pesawat yang tidak sama. Arah E dan H dalam bidang tegak lurus terhadap, dapat berubah, bagaimanapun, sebagai fungsi waktu dan posisi, tergantung pada bagaimana gelombang itu terbentuk. Atau pada jenis medium apa yang menyebar melalui. Dengan demikian descreption lengkap
Ada
banyak kegunaan dari gelombang terpolarisasi sirkuler. Mungkin keuntungan yang
paling jelas adalah penerimaan gelombang yang memiliki polarisasi melingkar
tidak tergantung pada orientasi antena di pesawat normal ke arah propaganda.
Kegunaan lain melibatkan perlakuan cahaya terpolarisasi linier sebagai
superposisi gelombang terpolarisasi sirkuler
Contoh 11.7Mari kita mempertimbangkan hasil melapiskan kiri dan kanan
bidang terpolarisasi sirkuler dari amplitudo, frekuensi, dan arah propagasi
yang sama, tetapi di mana pergeseran fasa dari 6 radian ada di antara keduanya.Larutan. Mengambil gelombang untuk menyebar di
arah + z, dan memperkenalkan fase relatif, 6, bidang fasor total ditemukan
Pengelompokan komponen bersama, ini menjadi
Anjak fase fase keseluruhan, kita dapatkan
Kita mengenali sebagai medan listrik dari garis
gelombang terpolarisasi linerly, yang vektor bidangnya berorientasi pada sudut
δ / 2 dari sumbu x. Contoh di atas menunjukkan bahwa setiap gelombang
terpolarisasi linier dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari dua gelombang
yang terpolarisasi secara sirkular dari tangan lawan, dan di mana arah
polarisasi linier ditentukan oleh perbedaan fasa relatif antara dua gelombang.
BAGAS ADI PRAYOGO 1731130033 |
ECHA MAORA FADILLA A.P 1731130043 |
KARINA AYU DEWANTI 1731130078 |
TWENDY DESWANTORO 1731130010 |