Electromagnetic Waves and Antenna

Multilayer Structures

Respon refleksi keseluruhan, Γ1 = E1− / E1 +, dapat diperoleh secara rekursif dalam berbagai cara, seperti dengan matriks propagasi, propagasi impedansi pada antarmuka, atau propagasi dari respon refleksi. Para koefisien refleksi dasar ρi dari kiri setiap antarmuka didefinisikan dalam hal impedansi karakteristik atau indeks bias sebagai berikut:

6.1. Lempengan Dielektrik Ganda

dimana ηi = η0 / ni, dan kita harus menggunakan konvensi n0 = na dan nM + 1 = nb, sehingga ρ1 = (na − n1) / (na + n1) dan ρM + 1 = (nM −nb ) / (nM + nb). Bidang maju / mundur di sebelah kiri antarmuka saya terkait dengan yang di sebelah kiri antarmuka i + 1 oleh:

dmana τi = 1 + ρi dan kili adalah ketebalan fasa dari lempengan ke-i, yang dapat diekspresikan dalam bentuk Nili ketebalan optik dan panjang gelombang ruang bebas operasi oleh kili = 2π (nili) / λ. Dengan asumsi tidak ada gelombang balik dalam medium paling kanan, rekursi ini diinisialisasi pada antarmuka (M + 1) sebagai berikut:

Ini berarti bahwa tanggapan refleksi Γi = Ei− / Ei + akan memenuhi rekursi:

dan diinisialisasi oleh ΓM + 1 = ρM + 1. Demikian pula rekursi untuk total medan listrik dan magnetik, yang terus menerus di setiap antarmuka, diberikan oleh:

dan diinisialisasi pada antarmuka (M + 1) sebagai berikut:

Ini mengikuti bahwa impedansi pada antarmuka, Zi = Ei / Hi , memenuhi rekursi :

dan diinisialisasi oleh ZM + 1 = ηb. Tujuan dari semua rekursi ini adalah untuk memperoleh respon refleksi keseluruhan Γ1 ke α medium.

[Gamma1, Z1] = multidiel (n, L, lambda); % struktur dielektrik multilayer di mana n, L adalah vektor indeks bias dari M + 2 media dan ketebalan optik lembaran M, yaitu, dalam notasi Gambar. 6.1.1: n = [na, n1, n2 , ..., nM, nb], L = [n1l1, n2l2, ..., nMlM] dan λ adalah vektor dari panjang gelombang bebas-ruang untuk mengevaluasi Γ1. Baik panjang optik L dan panjang gelombang λ adalah satuan dari beberapa panjang gelombang referensi yang diinginkan, katakanlah λ0, biasanya dipilih di pusat pita yang diinginkan.

6.2 Antireflection Coatings

Anti refleksi paling sederhana dari fleksion pemasangan pada wavelengthlaydibahas dalam Contoh 5.5.2. Kelemahan utamanya adalah bahwa hal itu membutuhkan indeks bias lapisan untuk memenuhi kondisi reflektif n1 = √nanb. Untuk substrat kaca khas dengan indexnb = 1,50, kami haven1 = 1,22. Bahan dengan n1 dekat nilai ini, seperti magnesium fluorida dengan n1 = 1,38, akan menghasilkan beberapa, tetapi diminimalkan, refleksi dibandingkan dengan kaca yang tidak dilapisi,

Dengan mengacu pada notasi Gambar. 5.7.1, kita memiliki na = 1, n1 = 1,38, n2 yang akan ditentukan, dan nb = nglass = 1,5. Respon refleksi pada antarmuka-1 terkait dengan respon pada antarmuka-2 oleh rekursi layer:

Kondisi reflectionless adalah Γ1 = 0 pada operating-space wavelengthλ0. Ini mensyaratkan bahwa ρ1 + Γ2e − 2jk1l1 = 0, yang dapat ditulis sebagai:

Karena sisi kiri memiliki besaran satuan, kita harus memiliki kondisi | Γ2 | = | ρ1 |, atau, | Γ2 | 2 = ρ2

Ini dapat dipecahkan untuk cos 2k₂l₂:

Dengan menggunakan identitas, cos2k2l2 = 2cos2 k2l2 −1, kami juga menemukan:

Hal ini terbukti dari ungkapan-ungkapan ini bahwa tidak setiap kombinasi dari ρ1, ρ2, ρ3 akan admitasolutionmenyebabkantetapkedalaman tangansekitifdantanpa pun. Jika kita mengasumsikan bahwa n2> n 1 dan n2> nb, maka, kita akan memiliki ρ2 <0 dan ρ3> 0. Kemudian, perlu bahwa pembilang dari ekspresi di atas menjadi negatif, yang dihasilkan ke dalam kondisi:

Ketimpangan kiri mensyaratkan bahwa √nb <n 1 <nb, yang terpenuhi dengan pilihan n1 = 1,38 dan nb = 1,5. Demikian pula, ketidaksetaraan yang tepat dilanggar — dan oleh karena itu tidak ada solusi — jika√nb <n 2 <n 1√nb, yang memiliki kisaran numerik 1,22 <n 2 <1,69. Catalan [634, 659] menggunakan bismut oksida (Bi2O3) dengan n2 = 2,45, yang memuaskan kondisi di atas untuk keberadaan larutan. Dengan pilihan ini, koefisien refleksinya adalah ρ1 = - 0,16, ρ2 = - 0,28, dan ρ3 = 0,24. Memecahkan Persamaan. (6.2.2) untuk k2l2 dan kemudian Persamaan. (6.2.1) untuk k1l1, kami menemukan:

Gambar 6.2.1 menunjukkan respon refleksi yang dihasilkan Γ1 sebagai fungsi dari panjang gelombang ruang bebas λ, dengan λ0 dipilih untuk berhubungan dengan tengah spektrum yang terlihat, λ0 = 550 nm.

na = 1; nb = 1,5; n1 = 1,38; n2 = 2,45; n = [na, n1, n2, nb]; la0 = 550; r = n2r (n);

c = sqrt ((r (1) ^ 2 * (1-r (2) * r (3)) ^ 2 - (r (2) -r (3)) ^ 2) / (4 * r (2) * r (3) * (1-r (1) ^ 2))); k2l2 = acos (c); G2 = (r (2) + r (3) * exp (-2 * j * k2l2)) / (1 + r (2) * r (3) * exp (-2 * j * k2l2)); k1l1 = (sudut (G2) - pi - angle (r (1))) / 2; jika k1l1 <0, k1l1 = k1l1 + 2 * pi; akhir

L = [k1l1, k2l2] / 2 / pi;

la = linspace (400,700,101); Ga = abs (multidiel (n, L, la / la0)). ^ 2 * 100; Gb = abs (multidiel ([na, n1, nb], 0,25, la / la0)). ^ 2 * 100; Gc = abs (multidiel ([na, sqrt (nb), nb], 0,25, la / la0)). ^ 2 * 100;

alur (la, Ga, la, Gb, la, Gc);

Ketergantungan pada λ datang melalui kuantitas k₁l₁ dan k₂l₂, sebagai contoh: Padapada Sec.13.7tidak dapat mengubah 2-sectioneriesimpendance

dasarnya hal ini digunakantransformer. Fungsi MATLAB mengatur bagian yang mengimplementasikan desain. Ini dapat digunakan untuk mendapatkan panjang optik dari lapisan, dan pada kenyataannya, menghasilkan dua kemungkinan solusi:

dimana setiap baris merupakan solusi, sehingga L1 = n1l1 / λ0 = 0,1706 dan L2 = n2l2 / λ0 = 0,4547 adalah yang kedua. larutan. Argumen dari twosect adalah invers dari indeks bias, yang sebanding dengan impedansi karakteristik dari empat media.

Meskipun metode desain ini memenuhi tujuan desainnya, tetapi menghasilkan bandwidth yang lebih sempit dibandingkan dengan kasus single-slab yang ideal. Memvariasikan n2 hanya memiliki efek kecil pada bentuk kurva. Untuk memperluas bandwidth, dan pada saat yang sama menjaga respon refleksi rendah,

Perilaku dari dua struktur serupa pada panjang gelombang desain. Untuk kasus kuartal seperempat, persyaratan Z1 = ηa menyiratkan:

yang memberikan kondisi desain (lihat juga Contoh 5.7.1):

Ketebalan optik adalah n1l1 = n2l2 = λ0 / 4. Pada kuartal seperempat seperempat kasus, lapisan setengah panjang gelombang berfungsi sebagai lapisan yang tidak hadir, yaitu Z2 = Z3, dan kondisi desain yang dihasilkan adalah sama:

menghasilkan dalam kondisi:

Ketebalan optik sekarang n1l1 = n3l3 = λ0 / 4 dan n2l2 = λ0 / 2. Kondisi (6.2.3) dan (6.2.4) adalah sama sejauh penentuan indeks bias lapisan seperempat panjang gelombang kedua.

Dalam kasus kuartal kuartal, jika ﬁ lm gelombang kuartal pertama adalah magnesium fluoride dengan n1 = 1,38 dan substrat kaca memiliki nglass = 1,5, kondisi (6.2.3) memberi untuk indeks untuk gelombang kuartal kedua lapisan:

Bahan cerium fluoride (CeF3) memiliki indeks n2 = 1,63 pada λ0 = 550 nm dan dapat digunakan sebagai pendekatan ke nilai ideal Persamaan. (6.2.5). Gambar 6.2.3 menunjukkan refleksi | Γ1 | 2 untuk kasus dua dan tiga lapis dan untuk nilai ideal dan perkiraan indeks dari lapisan gelombang kuartal kedua.

6.3. Dielectric Mirrors

Kepentingan utama pada cermin dielektrik adalah bahwa mereka memiliki kerugian yang sangat rendah pada frekuensi optik dan inframerah, dibandingkan dengan cermin logam biasa

Sebuah cermin dielektrik (juga dikenal sebagai reflektor Bragg) terdiri dari lapisan bolak-balik identik dari indeks bias tinggi dan rendah, seperti ditunjukkan pada Gambar 6.3.1. Ketebalan optik biasanya dipilih untuk menjadi panjang seperempat panjang gelombang, yaitu, nHlH = nLlL = λ0 / 4 pada beberapa gelombang operasi0. Pengaturanpengaturanmembuatbanyaklainjendela, dengan lapisan indeks tinggi menjadi lapisan pertama dan terakhir.

Gambar 6.3.1 menunjukkan kasus sembilan lapisan. Jika jumlah lapisan adalah M = 2N + 1, jumlah antarmuka akan menjadi 2N + 2 dan jumlah media 2N + 3. Setelah layer pertama, kita dapat melihat struktur sebagai pengulangan dari bilayers identik dari indeks rendah dan tinggi. Koefisien refleksi dasar bergantian dalam tanda seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.3.1 dan diberikan oleh

substrat nb dapat sewenang-wenang, bahkan sama dengan medium insiden na. Dalam hal ini, ρ2 = - ρ1. Sifat-sifat reflektif struktur dapat dipahami dengan menyebarkan impedansi dari bilayer ke bilayer. Untuk contoh Gambar 6.3.1, kita memiliki untuk kasus seperempat panjang gelombang:

bahwa untuk N besar, Γ1 akan cenderung −1, yaitu, refleksi 100%. Contoh 6.3.1: Untuk sembilan lapisan, 2N + 1 = 9, atau N = 4, dan nH = 2,32, nL = 1,38, dan na = nb = 1, kami menemukan:

Untuk menentukan bandwidth di sekitar λ0 yang strukturnya menunjukkan reaktivitas tinggi, kita bekerja dengan rekursi layer (6.1.2). Karena bilayers identik, bidang maju / mundur di sebelah kiri satu bilayer terkait dengan yang di sebelah kiri yang berikutnya oleh matriks transisi F, yang merupakan produk dari dua matriks propagasi dari tipeEQ. (6.1.2) . TherepeatedapplicationofthematrixFtakesustotheright-most layer. Sebagai contoh, pada Gambar 6.3.1 kita memiliki:

sifat struktur multilayer pada dasarnya ditentukan oleh kekuatan N, FN, dari matriks transisi bilayer F. Pada gilirannya, perilaku FN ditentukan. oleh struktur nilai eigen dari F. Biarkan {λ +, λ−} menjadi dua nilai eigen dari F dan biarkan V menjadi matriks eigenvektor. Kemudian, nilai etigen dariFandFN akan menjadiF = VΛV −1 danFN = VΛNV −1, di mana Λ = diag {λ +, λ−}. Karena F memiliki unit penentu, dua nilai eigennya akan menjadi invers satu sama lain, yaitu, λ− = 1 / λ +, atau, λ + λ− = 1. Nilai eigen λ adalah keduanya bernilai nyata atau bernilai kompleks dengan besaran satuan. Kita dapat mewakili mereka dalam bentuk yang setara:

fmana l adalah panjang setiap bilayer, l = lL + lH. Kuantitas K disebut sebagai bujang Bloch. Jika nilai eigen λ ± adalah satuan bernilai besar yang bernilai kompleks, maka K adalah nyata. Jika nilai eigen adalah nyata, maka K adalah imajiner murni, katakanlah K = −jα, sehingga λ ± = e ± jKl = e ± αl. Struktur multilayer berperilaku sangat berbeda tergantung pada sifat K. Struktur ini terutama mencerminkan jika K adalah imajiner dan nilai eigen λ ± adalah nyata, dan itu terutama memancarkan jika K adalah nyata dan nilai eigen adalah fase murni.

Contoh 6.3.2: Cermin Dielektrik Dengan Lapisan Panjang-Wavelength. Gambar 6.3.2 menunjukkan respon refleksi | Γ1 | 2 sebagai fungsi dari panjang gelombang ruang bebas λ dan sebagai fungsi frekuensi f = c0 / λ. Indeks tinggi dan rendah nH = 2,32 dan nL = 1,38, sesuai dengan sulfat seng (ZnS) dan magnesium fluoride. Medium insiden adalah udara dan substrat adalah kaca dengan indeks na = 1 dan nb = 1,52. Grafik kiri menggambarkan respon untuk kasus N = 2,4,8 bilayers, atau 2N + 1 = 5,9,17 lapisan, sebagaimana didefinisikan pada Gambar 6.3.1. Panjang gelombang desain di mana lapisan panjang seperempat panjang gelombang adalah λ0 = 500 nm. Koefisien refleksi adalah ρ = 0,25 dan rasio nH / nL = 1,68. Bandwidth panjang gelombang dihitung dari Persamaan. (6.3.25) adalah Δλ = 168,02 nm dan telah ditempatkan pada grafik pada tingkat refleksi sewenang-wenang. Banded kiri / kanan adalah λ1 = 429,73, λ2 = 597,75 nm. Thebandwidth menemukan sebagian besar spektrum data.

Perhatikan bahwa fungsi repmat mereplikasi bilangan LH bilayer kali. Grafik frekuensi hanya menunjukkan kasus N = 8. Bandwidth Δf, dihitung dari (6.3.25), telah ditempatkan pada grafik. Reaksi maksimum (dievaluasi pada kelipatan ganjil dari f0) sama dengan 99,97%.

. Kode MATLAB yang khas untuk menghasilkan gambar-gambar contoh ini adalah sebagai berikut:

la0 = 12.5;

na = 1; nb = 1.48; % NaCl substrate

nH = 4.6; nL = 1.6; % Te and PS

lH = 0.8; lL = 1.65; % physical lengths lH, lL

LH = nH*lH/la0, LL = nL*lL/la0; % optical lengths in units of λ0

rho = (nH-nL)/(nH+nL); % reﬂection coefﬁcient ρ

la2 = pi*(LL+LH)*1/acos(rho) * la0; % right bandedge la1 = pi*(LL+LH)*1/acos(-rho) * la0; % left bandedge Dla = la2-la1; % bandwidth

la = linspace(5,25,401); % equally-spaced wavelengths

N = 4;

n = [na, nH, repmat([nL,nH], 1, N), nb]; % refractive indices of all media

L = [LH, repmat([LL,LH], 1, N)]; % optical lengths of the slabs

G = 100 * abs(multidiel(n,L,la/la0)).^2; % reﬂectance

plot(la,G);

6.4 Propagation Bandgaps

Ada analogi tertentu antara pita energi elektronik dari material solid state yang timbul dari periodisitas struktur kristal dan pita frekuensi cermin dielektrik yang timbul dari periodisitas bilayers. Band-band reefleksi tinggi memainkan peran dari band energi terlarang (dalam arti bahwa gelombang tidak dapat merambat melalui struktur dalam band-band ini.) Struktur periodik dielektrik seperti ini telah disebut kristal fotonik dan telah melahirkan bidang baru struktur bandgap fotonik , yang telah berkembang pesat selama sepuluh tahun terakhir dengan sejumlah besar aplikasi baru yang potensial [761–787].

Perbanyakan propagasi muncul dalam setiap masalah propagasi gelombang dalam media dengan struktur periodik [754-760]. Waveguides dan jalur transmisi yang secara berkala sarat dengan tonjolan atau impedansi shunt, adalah contoh dari media tersebut [884-888].
Kisi serat Bragg, diperoleh dengan secara berkala memodulasi indeks bias inti (atau kelongsong) dari bagian akhir suatu serat, menunjukkan pita-pita reflektansi tinggi [788–808]. Fase kuartal-fase-bergeser Bragg kisi-kisi (dibahas di bagian berikutnya) bertindak sebagai filter transmisi narrow-band dan dapat digunakan dalam sistem komunikasi multiplexed panjang gelombang.
Aplikasi lain dari struktur periodik dengan celah pita timbul dalam rekayasa struktur untuk mengendalikan transmisi getaran dan stres [809–811], dalam akustik untuk mengontrol transmisi suara melalui struktur [812–817], dan dalam konstruksi resonator laser. dan sistem lensa periodik [913,915]. Review bagus dari propagasi gelombang dalam struktur periodik dapat ditemukan di [755].

6.5 Narrow-Band Transmission Filters

Pita refleksi dari cermin dielektrik timbul dari replikasi berkala N-fold dari lapisan indeks tinggi / rendah dari jenis (HL) N, di mana H, L dapat memiliki panjang yang sewenang-wenang. Di sini, kita akan mengasumsikan bahwa mereka adalah lapisan seperempat panjang gelombang pada panjang gelombang desain λ0.
Struktur multilayer fase peralihan fase seperempat diperoleh dengan menggandakan (HL) N
to (HL) N (HL) N dan kemudian memasukkan seperempat gelombang layer L antara dua grup, sehingga menghasilkan (HL) NL (HL) N. Kita akan merujuk pada struktur seperti resonator Fabry-Perot (FPR) - ini juga bisa disebut seperempat gelombang fase-bergeser Bragg.
Sebuah FPR berperilaku seperti lapisan-L tunggal pada panjang gelombang desain λ0. Memang, mencatat bahwa pada λ0 kombinasi LL dan HH adalah layer half-wave atau absentee dan dapat dihapus, kita memperoleh pengurangan berturut-turut:

6.5. Filter Transmisi Narrow-Band 205

(HL) NL (HL) N → (HL) N − 1HLLHL (HL) N − 1
→ (HL) N − 1HHL (HL) N − 1
→ (HL) N − 1L (HL) N − 1
Dengan demikian, jumlah lapisan HL dapat dikurangi secara berturut-turut, akhirnya menghasilkan lapisan L setara (pada λ0):
(HL) NL (HL) N → (HL) N − 1L (HL) N − 1 → (HL) N − 2L (HL) N − 2 → ••• → L

Menambahkan L-layer lain di sebelah kanan, struktur (HL) NL (HL) NL akan bertindak sebagai 2L, yaitu, lapisan absen setengah gelombang pada λ0. Jika struktur seperti itu terjepit di antara material substrat yang sama, katakanlah kaca, maka ia akan bertindak sebagai lapisan yang tidak hadir, membuka jendela transmisi yang sempit pada λ0, di tengah-tengah band yang mencerminkan.
Tanpa lapisan seperempat gelombang L hadir, struktur G | (HL) N (HL) N | G dan
G | (HL) N | G bertindak sebagai cermin, † tetapi dengan lapisan seperempat gelombang yang ada, struktur G | (HL) NL (HL) NL | G bertindak sebagai filter transmisi yang sempit, dengan bandwidth transmisi menjadi lebih sempit karena N meningkat.
Dengan mengulangi FPR (HL) NL (HL) N beberapa kali dan menggunakan mungkin berbeda
panjang N, adalah mungkin untuk mendesain pita transmisi yang sangat sempit yang berpusat pada λ0 yang memiliki passband datar dan tepi yang sangat tajam.
Jadi, kami tiba di seluruh keluarga desain, di mana dimulai dengan dielec- biasa
cermin tric, kita dapat menggantinya dengan satu, dua, tiga, empat, dan seterusnya, FPR:

0. G | (HL) N1 | G

1. G | (HL) N1 L (HL) N1 | L | G

2. G | (HL) N1 L (HL) N1 | (HL) N2 L (HL) N2 | G

3. G | (HL) N1 L (HL) N1 | (HL) N2 L (HL) N2 | (HL) N3 L (HL) N3 | L | G

4. G | (HL) N1 L (HL) N1 | (HL) N2 L (HL) N2 | (HL) N3 L (HL) N3 | (HL) N4 L (HL) N4 | G
(6.5.1) Perhatikan bahwa ketika jumlah ganjil FPR (HL) NL (HL) N digunakan, lapisan L tambahan harus ditambahkan pada bagian akhir untuk membuat keseluruhan struktur tidak ada. Untuk bilangan genap
FPR, ini tidak perlu.
Desain filter seperti ini telah digunakan dalam aplikasi tipis ﬁ lm [637-643] dan serat Bragg, misalnya, sebagai demultiplexer untuk sistem WDM dan untuk menghasilkan sumber laser bandwidth sangat sempit (biasanya pada λ0 = 1550 nm) dengan distribusi laser umpan balik [798–808]. Kami membahas kisi Bragg serat di Sec. 12.4.
Dalam interferometer Fabry-Perot, lapisan gelombang-seperempat L yang terjepit di antara cermin (HL) N disebut “spacer” atau “rongga” dan dapat diganti dengan beberapa ganjil seperempat gelombang gelombang, misalnya, ( HL) N (5L) (HL) N.
Contoh 6.5.3: Desain Filter Transmisi dengan Tiga dan Empat FPR. Gambar 6.5.3 menunjukkan transfer kisi-kisi dengan tiga FPR (kasus 3 Persamaan (6.5.1)). Pengaturan simetris dari FPR dipilih sedemikian rupa sehingga N3 = N1.

Gambar 6.5.3 Filter transmisi dengan tiga FPR dengan panjang yang sama dan tidak sama.
Grafik kiri menunjukkan transmitansi dari dua kasus desain N1 = N2 = N3 = 8 dan N1 = N2 = N3 = 9, sehingga semua FPR memiliki panjang yang sama. Band transmisi sekarang lebih rapi tetapi menunjukkan beberapa riak. Untuk menghilangkan riak, panjang FPR tengah sedikit meningkat. Grafik kanan menunjukkan kasus N1 = N3 = 8 dan N2 = 9, dan kasus N1 = N3 = 9 dan N2 = 10.
Gambar 6.5.4 menunjukkan kasus empat FPR (kasus 4 dalam Persamaan. (6.5.1).) Sekali lagi, pengaturan simetris dipilih dengan N1 = N4 dan N2 = N3.

6.6 Equal Travel-Time Multilayer Structures

Di sini, kita membahas kasus khusus, tetapi berguna, dari struktur multilayer yang lapisannya memiliki ketebalan optik yang sama, atau setara, penundaan waktu perjalanan yang sama, seperti misalnya dalam kasus seperempat panjang gelombang lapisan. Diskusi kami didasarkan pada [833] dan [840,841].
Gambar 6.6.1 menggambarkan struktur seperti itu yang terdiri dari lapisan M. Media ke kiri dan
kanan adalah ηa dan ηb dan koefisien refleksi ρi pada antarmuka M + 1 seperti pada Persamaan. (6.1.1). Kita akan membahas kasus umum ketika ada medan insiden dari kedua media kiri dan kanan.
Biarkan Ts menunjukkan penundaan dua arah perjalanan umum, sehingga,

Matriks transisi Fi (z) memiliki dua sifat yang menarik. Mendefinisikan kompleks
conjugate matrix ¯Fi (z) = Fi (z − 1),

dimana d adalah tingkat polinomial. Misalnya, kami memiliki:

A (z) = a0 + a1z − 1 + a2z − 2 + a3z − 3

AR (z) = a3 + a2z − 1 + a1z − 2 + a0z − 3 = z − 3 (a0 + a1z + a2z2 + a3z3) = z − 3A¯ (z)

Menulis yang kedua dari Persamaan. (6.6.14) secara eksplisit, kami memiliki:

Ini berarti bahwa polinomial Ci (z), Di (z) adalah kebalikan dari Bi (z), Ai (z), yaitu, Ci (z) = BR (z), Di (z) = AR (z) . Menggunakan hasil ini, yang pertama dari Persamaan. (6.6.14) mengimplikasikan
saya i

berikut kendala antara Ai (z) dan Bi (z):

A¯i (z) Ai (z) −B¯i (z) Bi (z) = σ2 (6.6.16)

Dengan demikian, produk dari matriks dalam Persamaan. (6.6.12) memiliki formula :

Scattering Matrix

Matriks transfer dalam Persamaan. (6.6.23) menghubungkan insiden dan memantulkan bidang di sebelah kiri struktur ke struktur di sebelah kanan. Menggunakan Persamaan. (6.6.25), (6.6.26), dan

(6.6.29), kami dapat mengatur ulang matriks transfer (6.6.23) ke dalam bentuk matriks hamburan yang

menghubungkan bidang yang masuk E₊, E'_ ke kolom yang keluar E_, E '₊ . Kita punya:

Keadaan unitarity setara dengan kondisi kekekalan daya bahwa daya masuk neto ke dalam struktur multilayer (lossless) sama dengan daya tembus bersih yang keluar dari struktur. Memang, dalam hal gelombang daya, kita memiliki:

Layer Recursions

Selanjutnya, kita membahas Layer Recursions, Tanggapan refleksi pada antarmuka berturut-turut struktur diberikan oleh persamaan yang sama untuk (6.6.25). Kita memiliki Γ_i(z) = B_i(z) / Ai (z) pada antarmuka and dan Γ_{i + 1}(z) = B_{i
+ 1}(z) / A_{i + 1}(z) pada yang berikutnya . Menggunakan Persamaan. (6.6.19), kami menemukan bahwa tanggapan Γ_imemenuhi rekursi berikut, yang setara dengan Persamaan. (6.1.3):

Dimulai pada Γ_{M + 1}(z) = ρ_{M + 1} dan diakhiri dengan Γ (z) = Γ₁(z). Impedansi pada

antarmuka memenuhi Persamaan. (6.1.5), yang mengambil bentuk khusus dalam kasus fasa yang sama ketebalanya:

jika z = e^2jδ, maka s = j tan δ. Lebih mudah untuk memikirkan impedansi Zi (s) sebagai fungsi dari variabel dan respon refleksi Γi (z) sebagai fungsi dari variabel z. Untuk meringkas, mengingat impedansi karakteristik {ηa, η1,. . . , ηM, ηb}, ekuivalen, indeks bias {n1, n1,. . . , nM} dari struktur berlapis-lapis, kita dapat menghitung koefisien refleksi yang sesuai {ρ1, ρ2,. . . , ρM + 1} dan kemudian melakukan rekombinasi polinomial (6.6.19), akhirnya tiba di poligonomial urutan akhir Mth A (z) dan B (z), yang didefinisikan melalui Persamaan. (6.6.25) keseluruhan refleksi dan tanggapan transmisi dari struktur. Sebaliknya, mengingat polinomial akhir A₁(z) = A (z) dan B₁(z) = B (z), kita membalikkan rekursi (6.6.19) dan "melepas" satu lapisan pada suatu waktu, sampai kita sampai di antarmuka paling kanan. Dalam prosesnya, kami mengekstraksi koefisien refleksi {ρ1, ρ2,. . . , ρM + 1}, serta karakteristik impedansi dan indeks bias dari struktur. Rekurit terbalik ini didasarkan pada properti bahwa koefisien refleksi muncul dalam koefisien pertama dan terakhir dari polinomial Bi (z) dan Ai (z). Memang, jika kita mendefinisikan koefisien ini dengan ekspansi:

maka, mengikuti dari Persamaan. (6.6.19) bahwa koefisien pertama adalah:

sedangkan koefisien terakhir adalah:

untuk i = 1, 2,. . . , M, di mana ρi = bi (0). Rekursi ini dimulai dengan pengetahuan A₁(z) dan B₁(z). Kami mencatat bahwa setiap langkah dari rekursi mengurangi urutan polinomial oleh satu, sampai kita mencapai polinomial urutan ke-0 A_{M + 1}(z) = 1 dan B_{M
+ 1}(z) = ρ_{M + 1}. Rekaman sebaliknya juga dapat diterapkan langsung ke respon refleksi Γi (z) dan impedansi gelombang Zi (s). Ini mengikuti dari Persamaan. (6.6.41) bahwa koefisien refleksi ρi dapat diekstraksi dari Γi (z) jika kita menetapkan z = ∞, yaitu, ρi = Γi (∞). Kemudian, memecahkan Persamaan. (6.1.3) untuk Γ_{i + 1}(z), kita memperoleh:

Order-increase dan order-recruions recursions Eqs. (6.6.19) dan (6.6.46) dapat juga dinyatakan dalam bentuk vektor koefisien dari polinomial Ai (z) dan Bi (z). Mendefinisikan vektor-vektor kolom:

dan diinisialisasi pada_{M + 1} = [1] dan b_{M +
1} = [ρ_{M + 1}]. Demikian pula, rekursi mundur (6.6.46) diinisialisasi pada polinomial urutan M a1 = a dan b1 = b. Untuk i = 1, 2,. . . , M dan ρi = bi (0), kita memiliki:

Contoh 6.6.2: Pertimbangkan lapisan antirefleksi seperempat kuartal yang ditunjukkan pada Gambar 6.2.2 dengan indeks bias [na, n1, n2, nb] = [1, 1.38, 1.63, 1.50]. Tentukan koefisien refleksi pada tiga antarmuka dan respons refleksi keseluruhan Γ (z) dari struktur.

Solusi: Dalam masalah ini kami melakukan rekatan lapisan maju mulai dari lapisan paling kanan. Koefisien refleksi dihitung dari Persamaan. (6.1.1) adalah:

Memulai rekursi ke depan dengan a3 = [1] dan b3 = [ρ3] = [0,0415], kita membangun polinomial urutan pertama:

Kemudian, kita membangun polinomial urutan ke-2 pada antarmuka pertama:

Dengan demikian, respon refleksi keseluruhan adalah:

Menerapkan rekursi terbalik pada respon refleksi ini akan menghasilkan koefisien refleksi yang sama ρ1, ρ2, ρ3.

Suatu pendekatan yang sering dibuat dalam praktek adalah mengasumsikan bahwa ρ kecil dan mengabaikan semua istilah yang melibatkan dua atau lebih faktor ρi. Dalam pendekatan ini, kita memiliki polinomial dan respon refleksi Γ (z) = B1 (z) / A1 (z), untuk M = 3 kasus:

dimana kita mendefinisikan e0 = e1TM(x0). Memecahkan untuk e0, kita memperoleh:

Chebyshev polinomial TM(x) ditinjau lebih detail di Sec. 23,9 yang membahas desain antena array menggunakan jendela Dolph-Chebyshev. Dua sifat kunci dari polinomial ini adalah bahwa mereka memiliki equiripple sifatdalam interval −1 ≤ x ≤ 1 dan tumbuh seperti x^Muntuk |x| > 1.

Dengan menyesuaikan nilai parameter skala x0, kita dapat mengatur seluruh domain equiripple, −1 ≤ x ≤ 1, dari TM(x) untuk dipetakan ke pita pantulan yang diinginkan [f1, f2], di mana f1, f2 adalah frekuensi bandangan kiri dan kanan tentang f0, Dengan demikian, kami menuntut kondisi:

polinomial A (z) ditemukan dengan mengharuskan bahwa itu menjadi polinomial fase-minimum, yaitu, dengan semua nol di dalam lingkaran unit pada z-pesawat. Untuk menemukan polinomial ini kita menentukan2M akardari sisi kanan dari |A (f)| dan simpan hanya M yang berada di dalam lingkaran unit. Kita mulai dengan persamaan untuk akar:

Karena TM(x0 cos δ)= cos M acos(x0 cos δ) ,diinginkan M yang akardiberikan oleh :

Seperti sebelumnya, faktor b0 ditetapkan dengan Persamaan yang cocok. (6.8.14) pada f = 0. Karena δm adalah nyata, nol zm semua akan memiliki besaran satuan dan B (z) akan sama dengan polinomial baliknya, B^R(z)= B (z).

Akhirnya, koefisien refleksi pada antarmuka dan indeks bias diperoleh dengan mengirim A (z) dan B (z) ke dalam rekursi lapisan ke belakang.

Langkah-langkah desain di atas dilaksanakan oleh fungsi MATLAB chebtr, chebtr2, dan chebtr3 dengan penggunaan:

Input adalah indeks bias na, nb dari kiri dan kanan media, ataman yang dikehendaki dalam dB, dan bandwidth fraksional ∆ F = ∆f / f0. Outputnya adalah vektor indeks bias n = [na, n1, n2, ..., nM , nb] dan refleksi dan transmisi polinomi al b dan a. Di chebtr2 dan chebtr3, perintah M diberikan. Untuk memperjelas langkah-langkah desain, kami berikan di bawah kode sumber penting untuk chebtr:

Contoh 6.8.1: Lapisan antireflection broadband. Desain pelapisan antirefleksi broadband pada kaca dengan na = 1, nb = 1.5, A = 20 dB, dan bandwidth fraksional ∆F = ∆f / f0 = 1.5. Kemudian, desain lapisan dengan bandwidth yang lebih dalam dan sempit memiliki parameter A = 30 dB dan ∆F = ∆f / f0 = 1.0.

dSolusi: Reflektansi dari pelapis yang dirancang ditunjukkan pada Gambar 6.8.2. Kedua kasus memiliki

M = 8 dan M = 5, masing-masing, dan indeks bias:

n = [1, 1.0309, 1.0682, 1.1213, 1.1879, 1.2627, 1.3378, 1.4042, 1.4550, 1.5]

n = [1, 1.0284, 1.1029, 1.2247, 1.3600, 1.4585, 1.5]

Spesifikasi lebih baik daripada puas karena metode ini membulatkan nilai pasti M ke integer berikutnya. Nilai-nilai pasti ini adalah Mtepat = 7.474 dan Mexact = 4.728, dan ditingkatkan menjadi M = 8 dan M = 5.

yang diinginkan ditunjukkan pada grafik dihitung dari f1 / f0 = 1 - ∆F /2 dan f1 / f0 = 1 +

∆F /2 Koefisien polinomial yang dirancang a, b berada dalam dua kasus:

Anka nol angka nol dari polinomial a berada dalam dua kasus :

terletak di dalam lingkaran unit dengan desain. Kode MATLAB yang khas digunakan untuk menghasilkan contoh-contoh ini adalah:

1731130048 VENDA

1731130039 ASHHABIL FIRDAUS

1731130074 M Joe Devin B.

1731130110 Yayan Rachmadianto