POISSON DAN LAPLACE'S
POISSON DAN LAPLACE'S
Sebuah studi dari bab sebelumnya menunjukkan bahwa beberapa analogi yang digunakan untuk memperoleh peta lapangan eksperimental yang terlibat menunjukkan bahwa kuantitas analog memenuhi persamaan Laplace. Hal ini berlaku untuk defleksi kecil membran elastis, dan mungkin telah membuktikan analogi saat ini dengan menunjukkan bahwa kerapatan arus searah dalam media budidaya juga memenuhi persamaan Laplace. Tampaknya ini adalah persamaan mendasar di lebih dari satu bidang ilmu pengetahuan, dan, mungkin tanpa menyadarinya, kita telah menghabiskan bab terakhir memperoleh solusi untuk persamaan Laplace dengan metode eksperimental, grafis, dan numerik. Sekarang kami siap untuk memperoleh persamaan ini secara formal dan mendiskusikan beberapa metode yang dengannya hal itu dapat diselesaikan secara analitis.
Kelihatannya materi ini benar dimiliki sebelum bab sebelumnya; selama kita menyelesaikan satu persamaan dengan begitu banyak metode, apakah tidak pas untuk melihat persamaan pertama? Kerugian dari tatanan yang lebih logis ini terletak pada fakta bahwa menyelesaikan persamaan Laplace adalah latihan dalam matematika, dan kecuali kita memiliki masalah fisik dengan baik dalam pikiran, kita mungkin dengan mudah kehilangan signifikansi fisik dari apa yang kita lakukan. Peta lengkung kasar dapat memberi tahu banyak tentang bidang dan kemudian dapat digunakan nanti untuk memeriksa solusi matematika kami untuk kesalahan besar atau untuk menunjukkan daerah tertentu di bidang yang memerlukan perlakuan khusus.
PERSAMAA POISSON'S
Penerapan persamaan Poisson, pertama kita harus mengasumsikan bahwa kerapatan muatan memiliki volume yang ditentukan. Hal ini tidak biasanya terjadi,
namun; pada kenyataannya, sering terjadi pada nilai-nilai batas potensi, intensitas medan listrik, dan
kerapatan arus. Maka dari ini
kita harus menerapkan persamaan Poisson, persamaan kontinuitas, dan beberapa
hubungan ekspresi gaya pada partikel bermuatan, seperti persamaan gaya Lorentz
atau persamaan difusi, dan memecahkan seluruh sistem persamaan.
Sebagai contoh, mari kita pilih sambungan pn
antara dua bagian dari semikonduktor yang
memperluas dalam arah x. Kita akan berasumsi bahwa wilayah untukx
<0 didoping p jenis dan bahwa wilayah untuk x> 0 adalah n jenis. Tingkat
doping identik di setiap sisi persimpangan. Untuk meninjau kualitatif beberapa
fakta tentang persimpangan semikonduktor, catat bahwa awalnya ada kelebihan lubang di sebelah kiri
persimpangan dan kelebihan elektron ke kanan. Setiap kelebihan berdifusi melintasi persimpangan sampai medan listrik
dibangun ke arah rupa sehingga arus difusi turun menjadi nol. Dengan demikian,
untuk mencegah lebih banyak lubang yang
bergerak ke kanan, medan listrik di lingkungan persimpangan harus diarahkan ke
kiri; Ex negatif di sana. Pada bidang
ini harus diproduksi oleh muatan positif bersih di sebelah kanan persimpangan
dan muatan negatif bersih ke kiri. Perhatikan bahwa lapisan muatan positif
terdiri dari dua bagian-lubang yang telah melintasi persimpangan dan ion donor
positif dari mana elektron telah berangkat. Lapisan negatif didasari dengan
cara yang berlawanan dengan elektron dan ion akseptor negatif.
Sebuah distribusi muatan dari formula
ini dapat didekati dengan berbagai ekspresi yang berbeda. Salah satu ekspresi
sederhana adalah
PERSAMAAN LAPLACE'S
Pada bagian ini kita dihadapkan
dengan kelas bidang potensial yang bervariasi dengan lebih dari satu dari tiga
koordinat. Meskipun contoh diambil di Cartesian sistem koordinat, metode umum
berlaku untuk koordinat sistem lainya. Maka harus menghindari hal tersebut, namun, karena ladang
potensial yang diberikan dalam hal fungsi matematika yang lebih maju, seperti
fungsi Bessel dan harmonik bola dan silinder, dan bunga maka sekarang tidak berbohong
dengan fungsi matematika baru tapi dengan teknik dan methods memecahkan masalah medan elektrostatik.
Hal ini dapat dipecahan dengan
menentukan hanya yang potensial adalah fungsi dari x dan y saja, sehingga
dimana sedikit lebih sederhana istilah A dan B telah diganti a0 dan al / a, masing-masing, dan adalah dua konstanta yang harus dievaluasi dalam hal kondisi
batas. Pemisahan konstan tidak konstanta sembarang sejauh solusi dari (35) yang
bersangkutan, untuk itu muncul dalam persamaan itu.
Bentuk lainnya dari solusi diperoleh dengan
mengekspresikan fungsi hiperbolik dalam
hal eksponensial, mengumpulkan persyaratan, dan memilih baru konstanta
sewenang-wenang, A' dan B',
X = A'eax
+ re-ax
Mengalihkan perhatian kita sekarang untuk
(34), kita melihat hasil solusi sepanjang baris yang sama, yang mengarah ke dua
seri kekuasaan mewakili sinus dan cosinus, dan kita punya
Y = C cos
ay + D sin ay
dari yang potensial adalah
V = X Y = (A cosh ax
+ B sinh ax)(C cos ay + D sin ay) (36)
Sebelum menjelaskan masalah fisik dan memaksa
konstanta muncul dalam (36) agar sesuai dengan kondisi batas yang ditentukan,
mari kita mempertimbangkan sifat fisik bidang potensial yang diberikan oleh
pilihan sederhana konstanta ini. Membiarkan A = 0, C = 0, dan BD = VI, kita
memiliki
V = V1 sinh ax
sin ay
(37)
Faktor sinh kapak adalah nol pada x = 0 dan meningkatkan lancar
dengan x, segera menjadi hampir eksponensial dalam bentuk, karena
sinh ax = (eax – Cax)
Istilah dosa ay menyebabkan potensi untuk menjadi nol pada y = 0,
y = y = 27r/a, Dan seterusnya. Oleh karena itu kami dapat menempatkan
nol-potensi pesawat konduksi pada x = 0,
y = 0, dan y = 1r / a.
Akhirnya, kita dapat menggambarkan permukaan ekipotensial V1 dengan menetapkan
V = VI di (37), memperoleh
sinh ax sin ay = I
atau
ay=
Ini bukan persamaan akrab, tapi kalkulator
tangan atau satu set meja bisa memberikan nilai material cukup
untuk memungkinkan kita untuk merencanakan ay sebagai fungsi dari ax. Misalnya
kurva ditunjukkan pada Gambar. 7.4. Perhatikan
bahwa kurva adalah double-dihargai dan simetristentang garis ay = ir12 ketika ay terbatas pada
interval antara 0 dan Ir. Informasi dari Gambar. 7.4 ditransfer langsung ke V =
0 dan V = VI equipomelakukan permukaan tential pada Gambar. 7.5.
Permukaan ditunjukkan pada penampang, karena potensi bukan fungsi dari z.
Hal ini sangat
tidak mungkin bahwa kita akan pernah diminta untuk menemukan bidang potensi ini
elektroda berbentuk khas, tapi kita harus ingat kemungkinan menggabungkan
sejumlah bidang memiliki bentuk yang diberikan oleh (36) atau (37) dan dengan
demikian memuaskan kondisi batas dari masalah yang lebih praktis. Kami menutup
bab ini dengan contoh tersebut.
Masalah yang
harus dipecahkan adalah bahwa ditunjukkan pada Gambar. 7.6. Batas Conditions yang
ditampilkan adalah V = 0 pada x = 0, y = 0, dan y = b, dan V = Vo pada x = d
untuk semua y.
 |
| Moh. Fajar Sodiq 1731130071 |