Bab 2 - Uniform Plane Waves

Uniform Plane Waves

Gelombang elektromagnetik paling simple adalah uniform plane waves yang ter-propagasi melalui beberapa arah pasti (fixed), misalkan arah z, dalam medium lossless {є, μ}.

Asumsi dari keseragaman berarti bahwa medan tidak memiliki ketergantungan pada koordinat transversal x,y dan hanya fungsi dari z,t. Oleh karenanya, kita mencari solusi untuk rumus Maxwell dari bentuk E(x, y, z, t)= E(z, t) dan H(x, y, z, t)= H(z, t). Karena tidak adanya ketergantungan pada x,y, kita mengatur penurunan parsial ∂x = 0 dan ∂y = 0. Kemudian, gradasi, divergensi, dan operasi curl menjadi bentuk :

∇ = ẑ

, ∇ . E =

, ∇ X E = ẑ

= -ẋ

+ ŷ

Dengan asumsi bahwa D = E dan B = μH , sumber rumus Maxwell menjadi :

∇ X E = -µ

ẑ

= -µ

∇ X E = є

ẑ

= є

(2.1.1)

∇ . E = 0

= 0

∇ . H = 0

= 0

E(z, t) = xˆ E_x(z, t)+yˆ E_y(z, t)

H(z, t) = xˆ H_x(z, t)+yˆ H_y(z, t)

Istilah E+(z,t)=F(z-ct) menunjukkan sebuah gelombang terpropagasi dengan kecepatan c dalam arah positif z, sedangkan E−(z, t)= G(z+ct) menunjukkan sebuah gelombang yang berjalan dalam arah z negatif. Demikian pula kita menemukan bahwa E−(z, t + Δt)= E−(z + Δz, t), yang menyatakan bahwa medan terbalik pada waktu t + Δt adalah sama dengan medan pada waktu t, diartikan ke kiri oleh jarak Δz.

Monochromatic Waves

Gelombang plane seragam, satu frekuensi dalam media lossless didapatkan sebagai jenis special dari bab sebelumnya dengan asumsi persamaan waktu:

E(x, y, z, t) = E(z)ejωt

H(x, y, z, t) = H(z)ejωt

(2.2.1)

Dimana E(z) dan H(z) adalah kebalikan dengan arah z. Rumus Maxwell mungkin dapat diselesaikan dengan mudah dengan mengganti penurunan waktu ∂t → jω.

∂E±(z) jk E

= ∓

±

∂z

(z) , where k =

ω ω√μΠ (2.2.2)

Permukaan pada fasa tetap didapatkan dengan setting ϕ(z, t)= const. menunjukkan konstan ini dengan φ0 = kz0 dan menggunakan c = ω/k, kita mendapatkan kondisi :

ϕ(z, t)= ϕ₀ ⇒ kz − ωt = kz₀ ⇒ z = ct + z₀

Demikian, muka gelombang adalah sumbu xy yang berpotongan dengan sumbu z = ct+z0 yang berjalan maju dengan kecepatan c. Hal ini membenarkan istilah “plane wave”.

Panjang gelombang λ adalah jarak dimana fasa dari gelombang sinus berubah 2π radians.

Example: Jumlah nominal kecepatan cahaya dalam ruang hampa adalah C0=3x10^8 m/s. karena hubungan C0 = λf, maka ini dapat diekpresikan dalam unit berikut :

c0 = 5000 km × 60 Hz (power systems)

300 m × 1 MHz (AM radio)

40 m × 7.5 MHz (amateur radio)

3 m × 100 MHz (FM radio, TV)

30 cm × 1 GHz (cell phones)

10 cm × 3 GHz (waveguides, radar)

3 cm × 10 GHz (radar, satellites)

0.3 mm × 1 THz (biotech, security, spectroscopy)

1.5 μm × 200 THz (optical fibers, THz applications)

500 nm × 600 THz (visible spectrum)

100 nm × 3000 THz (UV)

Demikian pula, dalam istilah panjang/waktu dari propagasi :

c0 = 36 000 km/120 msec (geosynchronous satellites)

300 km/msec (power lines)

300 m/μsec (transmission lines)

30 cm/nsec (circuit boards)

300 μm/psec (nanocircuits)

Antenna monopole setengah gelombang biasanya memiliki panjang λ/4 dan digunakan dalam banyak aplikasi, seperti radio AM, radio FM, dan antenna telepon seluler. List band frekuensi yang lebih detail dapat dilihat dalam appendix B. Nilai akurat dari C0 dan nilai dari konstan lain dapat dilihat melalui appendix A. Efek propagasi gelombang menjadi sangat penting dan tidak dapat diabaikan.

Energy Density and Flux

Massa jenis waktu enegi dan flux dari uniform plane wave dapat ditentukan dengan Eq. Seperti pada bagian sebelumnya, energy di sebarkan secara rata dengan medan magnet dan medan listrik (dalam kasus mau dan mundur). Ini merupakan hasil umum untuk kebanyakan masalah propagasi gelombang dan penyearah gelombang.

Flux energy akan menjadi arah dari propagasi. Untuk kedua gelombang bergerak maju atau mundur :

Demikian, energy listrik dan magnet sama dengan total jenis massa :

Impedansi Gelombang

Untuk medan maju dan mundur, rasio dari E(z) to H(z)×ˆz adalah konstan dan sama dengan karasteristik impedansi dari medium.

Namun, property ini tidak benar untuk solusi umum yang diberikan pada persamaan 2.2.6. Pada umumnya, rasio dari E(z) to H(z)×ˆz di sebut dengan impedansi gelombang. Karena karakter vector dari medan, kita harus mendifinisikan rasio dalam istilah dari component x dan y :

Menggunakan persamaan kartesian, kita menemukan :

Impedansi gelombang merupakan konsep yang sangat berguna dalam subjek dari beberapa interface dielektrik dan disamakan dari jalur transmisi.

Polarisasi

Tergantung nilai dari ketiga kuantitas {A, B, φ} polarisasi ini mungkin sebuah elips, lingkaran, atau garis lurus. Medan listrik tersebut biasanya disebut dengan polarisasi elliptically, circularly, dan linearly.

Untuk mendapatkan polarisasi lurus, kita mengatur φ = 0 or φ = π, menganut pada φa = φb = 0, or φa = 0, φb = −π, agar fasa amplitudonya E0 = xˆ A ±yˆ B. diturunkan menjadi :

Merepresentasikan jalur lurus :

Untuk mendapatkan polarisasi lingkaran, kita mengatur A = B dan φ = ±π/2. Dalam kasus ini, polarisasi elips menjadi persamaan dari lingkaran :

Kemudian, ujung dari vector medan listrik berputar melawan arah jarum jam pada sumbu xy. Untuk menentkan apakah ini merepresentasikan polarisasi kanan atau kiri, kita menggunakan convensi IEEE.

Ujung dari vector medan listrik berputar searah jarum jam pada sumbu xy. Sejak gelombang bergerak maju, hal ini merepresentasikan polarisasi lingkaran ke kiri.