BAB 11 TEORI DASAR GELOMBANG BIDANG DASAR

Dalam bab ini kita akan menerapkan persamaan Maxwell untuk memperkenalkan teori dasar gerakan gelombang.

11.1 PROPAGASI GELOMBANG DI RUANG BEBAS

Untuk mempertimbangkan gerakan gelombang di ruang bebas terlebih dahulu, persamaan Maxwell dapat ditulis dalam bentuk E dan H hanya sebagai

∇ x H = 𝜖₀ ^∂E⁄_∂t (1)

∇ x E = - μ₀ ^∂H⁄_∂t (2)

∇ . E = 0 (3)

∇ . H = 0 (4)

Kami berasumsi bahwa komponen Ex diberikan sebagai

E_x= E(x,y,z) cos (ωt + ψ) (5)

Di mana E (x, y, z) adalah fungsi nyata dari x, y, z dan mungkin ω, tetapi ψ adalah sebuah sudut fasa yang mungkin juga merupakan fungsi dari x, y, z dan. Memanfaatkan identitas Euler,

e ^{j ω t} = cos ωt + j sin ωt

kita biarkan

E_x+ Re[E(x,y,z)e^{j(ωt+ ψ)}] = Re[E(x,y,z)e^jψe^jωt] (6)

Dimana Re menandakan bahwa bagian sebenarnya dari kuantitas berikut harus diambil. Jika kita kemudian menyederhanakan nomenklatur dengan menjatuhkan Re dan menekan ejωt, kuantitas bidang yang kita identifikasi dengan menggunakan subscript s, Exs. Dengan demikian

E_s = E_xsa_x

Contoh 11.1

Mari kita ekspresikan Ey = 100 cos (10⁸t - 0.5z + 30 °) V / m sebagai fasor.

Larutan. Kami pertama kali pergi ke notasi eksponensial,

E_y= Re[100e^j(10⁸^t-0.5z+30°⁾]

Perhatikan bahwa Ey itu nyata, tetapi Eys secara umum kompleks. Perhatikan juga bahwa nomenklatur campuran umumnya digunakan untuk sudut. Yaitu 0.5z dalam radian, sementara 30 ° dalam derajat. Dengan mempertimbangkan komponen skalar atau vektor yang dinyatakan sebagai fasor, kami dapat dengan mudah memulihkan ekspresi waktu-domain.

Metode dimana persamaan gelombang diperoleh dapat diselesaikan dalam satu baris (menggunakan empat tanda yang sama pada selembar kertas yang lebih luas):

∇ x ∇ x E_s= ∇ (∇. E_s ) - ∇² E_s= -jωμ₀ ∇ x H_s

= ω² μ₀€₀E_s= - ∇²E_s

Sejak ∇. Es = 0. Dengan demikian

∇²E_s= -k₀²E_s (7)

Dimana k0, bilangan ruang ruang kosong, didefinisikan sebagai

K₀= ω √μ₀€₀ (8)

Persamaan (7) dikenal sebagai persamaan vestor Helmholtz. Komponen x (7) menjadi, masih menggunakan notasi del-operator,

∇²E_xs = -k₀²E_xs (9)

Dan ekspansi operator mengarah ke persamaan diferensial parsial parsial

Mari kita coba solusi (10) dengan mengasumsikan bahwa solusi sederhana adalah mungkin di mana Exs tidak bervariasi dengan x atau y, sehingga dua turunan yang sesuai adalah xzero, yang mengarah ke persamaan diferensial biasa

^d₂Eₓₐ⁄_dx² = - k₀²E_xs (11)

Dengan inspeksi, kami dapat menuliskan satu solusi dari (11):

E_{xs =}E_x0e^-jk0z(12)

Selanjutnya, kita masukkan kembali faktor ejωt dan ambil bagian yang sebenarnya,

E_x(z,t) = cos (ωt – k₀z) (13)

Di mana faktor amplitudo, Ex0, adalah nilai Ex pada z = 0, t = 0. Soal 1 di akhir bab menunjukkan bahwa

E’_x(z,t) = E’_x0 cos (ωt + k₀z) (14)

Juga dapat diperoleh dari solusi alternatif dari persamaan vektor Helmholtz.

Kita melihat bahwa bidang (13) dan (14) adalah komponen x, yang dapat kita gambarkan sebagai diarahkan ke atas pada permukaan bumi. The radikal √μ₀ €₀, terkandung dalam k0, memiliki nilai perkiraan 1 (3x108) s / m, yang merupakan timbal balik c, kecepatan cahaya dalam ruang bebas,

c = = 2.998 x 10⁸= 3 x 10⁸= 3 x 10⁸m/s

Kita dapat menulis k0 = ω / c, dan Persamaan. (13), misalnya, dapat ditulis ulang sebagai

E_x(z,t) = E_x0 cos [ω (t – z/c)] (15)

Sifat gelombang propagasi dari bidang seperti yang dinyatakan dalam (13), (14), dan (15) sekarang dapat dilihat. Pertama, misalkan kita harus memperbaiki waktu pada t = 0. Persamaan. (15) kemudian menjadi

E_x(z,0) = E_x0 cos (^wz⁄_c) = E_x0 cos (k₀z) (16)

Yang kami identifikasi sebagai fungsi periodik sederhana yang mengulang setiap jarak tambahan λ, yang dikenal sebagai panjang gelombang. Persyaratannya adalah k0λ = 2π, dan sebagainya

Λ = ^2π⁄_k₀= ^c⁄_f = ^3x10⁸⁄_f(free space) (17)

Sekarang anggaplah kita mempertimbangkan beberapa titik (seperti puncak gelombang) pada fungsi kosinus dari Persamaan. (21). Untuk lambang untuk coccur, argumen kosinus harus merupakan kelipatan bilangan bulat 2π. Mempertimbangkan puncak mth dari gelombang, kondisi menjadi

K₀z = 2mπ

Dari (13) dan (14) kondisi kita sekarang menjadi

ωt – k₀z = ω(t – z/c) = 2mπ (18)

kembali ke persamaan Maxwell, dan tentukan bentuk bidang H. Diberikan Es, Hs, paling mudah diperoleh dari (9);

∆ x E_s= -jωμ₀H_s(9)

Yang sangat disederhanakan untuk komponen Exs tunggal yang bervariasi hanya dengan z,

= jωμ₀H_ys

Menggunakan (17) untuk Exs, kita punya

H_ys = - (-jk₀)E_x0e^-jk0z= E_x0 e^-jk0z

Dalam bentuk instan yang nyata, ini menjadi

H_y (z,t) = E_x0 cos (ωt – k₀z) (19)

Gelombang ini disebut gelombang bidang seragam karena nilainya seragam di seluruh bidang apa pun, z = konstan. Ini mewakili aliran energi dalam arah z positif. Baik medan listrik dan magnetis tegak lurus terhadap arah propagasi, atau keduanya terletak pada bidang yang melintang ke arah propagasi; gelombang bidang seragam adalah gelombang elektromagnetik transversal, atau gelombang TEM.

Beberapa perasaan untuk cara di mana bidang bervariasi dalam ruang dapat diperoleh dari Gambar 11.1a dan 11.1b. Intensitas medan listrik pada Gambar. 11.1a ditunjukkan pada t = 0, dan nilai sesaat dari medan digambarkan sepanjang tiga garis, sumbu z dan garis acak sejajar dengan sumbu z dalam bidang x = 0 dan y = 0 . Karena bidangnya seragam dalam bidang tegak lurus terhadap sumbu z, variasi sepanjang ketiga garis adalah sama. Satu siklus lengkap variasi terjadi dalam panjang gelombang, λ.

11.2 PROPAGASI GELOMBANG DALAM DIELEKTRIKA

Gelombang bidang yang seragam untuk propagasi dalam dielektrik permeabilitas dan permeabilitas μ. Medium isotropic dan homogeneous, dan persamaan gelombang sekarang

∆²E_s = -k²E_s (20)

Di mana bilangan gelombang sekarang menjadi fungsi dari sifat material:

k = ω√μ𝜖 = k₀ √μR𝜖R (21)

Fitur penting dari propagasi gelombang dalam dielektrik adalah bahwa k dapat bernilai kompleks, dan dengan demikian disebut sebagai konstanta propagasi kompleks.

Mengalikan dengan cara dan mengambil bagian nyata menghasilkan bentuk bidang yang dapat lebih mudah divisualisasikan:

E_x= E_x0e^-azcos (ωt – βz) (25)

Koefisien atenuasi diukur dalam nepers per meter (Np / m) agar eksponen e diukur dalam unit tanpa dimensi nepers. Jadi, jika α = 0,01 Np / m, amplitudo puncak gelombang pada z = 50 m akan menjadi e-0,5 / e-0 = 0,607 nilainya pada z = 0. Dalam menempuh jarak 1 / α di + z arah, amplitudo gelombang dikurangi oleh faktor akrab e-1, atau 0,368.

11.3 VEKTOR DAN PERTIMBANGAN KEKUATAN POYNTING
Jika kita mengasumsikan bahwa tidak ada sumber dalam volume, maka integral pertama di sebelah kanan adalah kekuatan total ohm (tetapi seketika) yang hilang dalam volume. Jika sumber hadir di dalam volume, maka hasil pengintegrasian atas volume sumber akan positif jika daya dikirimkan ke sumber, tetapi akan menjadi negatif jika daya dikirimkan oleh sumber.

Integral dalam istilah kedua di sebelah kanan adalah total energi yang tersimpan di medan listrik dan magnet, 4 dan turunan parsial sehubungan dengan waktu menyebabkan istilah ini menjadi tingkat waktu peningkatan energi yang tersimpan dalam volume ini, atau seketika kekuatan akan meningkatkan energi yang tersimpan dalam volume ini. Jumlah dari ekspresi di sebelah kanan oleh karena itu harus menjadi kekuatan total yang mengalir ke dalam volume ini, dan dengan demikian kekuatan total yang mengalir keluar dari volume adalah

di mana integral adalah di atas permukaan tertutup yang mengelilingi volume. Produk silang E x H dikenal sebagai vektor Poynting,

yang ditafsirkan sebagai kepadatan daya sesaat, diukur dalam watt per meter persegi (W / m2). Interpretasi ini tunduk pada pertimbangan filosofis yang sama seperti deskripsi (D • E) / 2 atau (B • H) / 2 sebagai intensitas energi. Kita dapat menunjukkan dengan seksama bahwa integrasi vektor Poynting di atas permukaan tertutup menghasilkan kekuatan total yang melintasi permukaan dalam arti luar. Penafsiran ini sebagai densitas daya tidak menyebabkan kita tersesat, namun, terutama ketika diterapkan pada bidang y bervariasi sinusoidal. Soal 11.18 menunjukkan bahwa hasil aneh dapat ditemukan ketika vektor Poynting diterapkan ke bidang waktu-konstan.

Arah vektor P menunjukkan arah aliran daya sesaat pada titik tersebut, dan banyak dari kita berpikir tentang vektor Poynting sebagai vektor "menunjuk". Homonim ini, sementara tidak disengaja, benar.

Karena P diberikan oleh produk silang E dan H, arah aliran daya pada titik manapun adalah normal untuk kedua vektor E dan H. Ini tentu saja sesuai dengan pengalaman kami dengan gelombang bidang seragam, untuk propagasi dalam arah + z dikaitkan dengan Ex dan 113, komponen,

Dalam dielektrik yang sempurna, bidang E dan H ini diberikan oleh

dan dengan demikian

Untuk menemukan kerapatan daya waktu rata-rata, kami mengintegrasikan lebih dari satu siklus dan membagi berdasarkan periode

11.4 PROPAGASI DALAM KONDUKTOR BAIK: PENGARUH KULIT

Sebagai studi tambahan tentang propaganda dengan kehilangan, kita akan menyelidiki perilaku pemenggalan yang baik ketika gelombang pesawat yang tidak sama terbentuk di dalamnya. Daripada memikirkan sumber yang tertanam dalam blok tembaga dan meluncurkan gelombang dalam materi itu, kita harus lebih tertarik pada gelombang yang dibentuk oleh medan elektromagnetik yang ada di beberapa dielektrik eksternal yang berdekatan dengan permukaan konduktor. Kita akan melihat bahwa transmisi utama energi harus terjadi di wilayah di luar konduktor, karena semua bidang yang bervariasi waktu sangat cepat menipis dalam sebuah konduktor yang baik.

Konduktor yang baik memiliki konduktivitas yang tinggi dan arus konduksi yang besar. Energi yang diwakili oleh gelombang bepergian melalui material sehingga menurun sebagai gelombang merambat karena kerugian ohmik terus ada. Ketika kita membahas kehilangan tangen, kita melihat bahwa rasio densitas arus konduksi dengan kerapatan arus perpindahan dalam bahan pengantar diberikan oleh α / Ѡ €. Memilih konduktor logam yang buruk dan frekuensi yang sangat tinggi sebagai contoh konservatif, 〖rasio〗 ^ 6 untuk nikrom (α = 〖10〗 ^ 6) pada 100 MHz adalah sekitar 2 X 〖10〗 ^ 8. Jadi kita memiliki situasi di mana α / Ѡ € ’>> 1, dan kita harus mampu membuat beberapa perkiraan yang sangat bagus untuk menemukan α, ß, dan ƞ untuk konduktor yang baik. Ekspresi umum untuk konstanta propagasi adalah

Terlepas dari parameter µ dan α dari konduktor atau frekuensi bidang yang diterapkan, α dan ß adalah sama. Jika kita berasumsi lagi hanya komponen E_x yang berjalan dalam arah + z kemudian

Kita dapat mengikat bidang ini dalam konduktor ke bidang eksternal di permukaan konduktor. Kami membiarkan daerah z> 0 menjadi konduktor kesalahan dan daerah z <0 menjadi dielektrik yang sempurna. Pada permukaan batas z = 0

Ini akan kita anggap sebagai bidang sumber yang menetapkan bidang di dalam konduktor. arus perpindahan dapat diabaikan

Dengan demikian, kerapatan arus konduksi pada titik manapun di dalam konduktor berhubungan langsung dengan E :

Mempertimbangkan pertama istilah eksponensial negatif, kita menemukan penurunan eksponen dalam kerapatan arus konduksi dan intensitas medan listrik dengan penetrasi ke konduktor (jauh dari sumber). Faktor eksponensial adalah kesatuan pada z = dan menurun menjadi e ^ (- 1) = 0,368 saat

Jarak ini dilambangkan dengan δ dan disebut kedalaman penetrasi, atau kedalaman kulit,

Ini adalah perameter penting dalam menggambarkan perilaku konduktor di bidang elektromagnetik. Untuk mendapatkan gambaran tentang besarnya kedalaman kulit, mari kita pertimbangan tenaga, α = 5,8 x 〖10〗 ^ 7 S / m, pada beberapa frekuensi yang berbeda. Kita punya

Dinyatakan lebih umum, semua bidang konduktor yang baik seperti tembaha pada dasarnya nol pada jarak yang lebih besar dari beberapa kedalaman kulit dari permukaan. Kepadatan arus atau intensitas medan listrik yang terbentuk di permukaan konduktor yang baik akan membusuk dengan cepat saat kita maju ke konduktor. Energi elektromagnetik tidak ditransmisikan dalam interior konduktor hanya memandu gelombang. Kami akan mempertimbangkan propagasi dipandu secara lebih rinci di Bab 13 dan 14.

Misalkan kita memiliki bar bus tembaga di gardu sebuah perusahaan utilitas listrik yang kita ingin memiliki arus besar, dan oleh karena itu kita memilih dimensi 2 oleh 4 masuk Kemudian banyak dari tembaga terbuang, karena ladang sangat berkurang satu kedalaman kulit, sekitar 1 / 3in. Konduktor berongga dengan dinding Ketebalan sekitar ½ inci akan menjadi desain yang jauh lebih baik. Meskipun kami menerapkan hasil analisis untuk sebuah konduktor planar tak terbatas ke salah satu dimensi berhingga, bidang dilemahkan dalam konduktor berukuran terbatas dengan cara yang serupa (tetapi nit identik). Kedalaman kulit yang sangat pendek pada frekuensi gelombang mikro menunjukkan bahwa hanya lapisan permukaan dari konduktor pemandu yang penting.

Sepotong kaca dengan permukaan perak menguap 0,0001 tebal adalah konduktor yang sangat baik pada frekuensi ini. Selanjutnya, mari kita tentukan ungkapan untuk kecepatan dan panjang gelombang dalam suatu konduktor yang baik. kita sudah punya

Untuk tembaga pada 60 Hz, λ = 5,36 cm dan v_p = 3,22 ms / s, atau sekitar 7,2 mil / jam. Banyak dari kita bisa berlari lebih cepat dari itu. Di ruang bebas, tentu saja, panjang gelombang 60-Hz dari 3100 mil dan bergerak dengan kecepatan cahaya.

11.5 POLARIZASI GELOMBANG

Pada bagian sebelumnya, kita telah memperlakukan gelombang pesawat yang tidak rata di mana vektor medan listrik dan magnet diasumsikan berada dalam arah yang tetap. Secara khusus, dengan gelombang merambat sepanjang sumbu z, E diambil untuk berbaring di sepanjang x, yang kemudian membutuhkan H untuk berbaring di sepanjang y. Hubungan ortogonal antara EH dan P ini selalu benar untuk gelombang pesawat yang tidak sama. Arah E dan H dalam bidang tegak lurus terhadap, dapat berubah, bagaimanapun, sebagai fungsi waktu dan posisi, tergantung pada bagaimana gelombang itu terbentuk. Atau pada jenis medium apa yang menyebar melalui. Dengan demikian descreption lengkap

Ada banyak kegunaan dari gelombang terpolarisasi sirkuler. Mungkin keuntungan yang paling jelas adalah penerimaan gelombang yang memiliki polarisasi melingkar tidak tergantung pada orientasi antena di pesawat normal ke arah propaganda. Kegunaan lain melibatkan perlakuan cahaya terpolarisasi linier sebagai superposisi gelombang terpolarisasi sirkuler

Contoh 11.7Mari kita mempertimbangkan hasil melapiskan kiri dan kanan bidang terpolarisasi sirkuler dari amplitudo, frekuensi, dan arah propagasi yang sama, tetapi di mana pergeseran fasa dari 6 radian ada di antara keduanya.Larutan. Mengambil gelombang untuk menyebar di arah + z, dan memperkenalkan fase relatif, 6, bidang fasor total ditemukan

Pengelompokan komponen bersama, ini menjadi

Anjak fase fase keseluruhan, kita dapatkan

Kita mengenali sebagai medan listrik dari garis gelombang terpolarisasi linerly, yang vektor bidangnya berorientasi pada sudut δ / 2 dari sumbu x. Contoh di atas menunjukkan bahwa setiap gelombang terpolarisasi linier dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari dua gelombang yang terpolarisasi secara sirkular dari tangan lawan, dan di mana arah polarisasi linier ditentukan oleh perbedaan fasa relatif antara dua gelombang.