BAB 1 Persamaan Maxwell

1 1.1 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell menggambarkan semua fenomena elektromagnetik (klasik):

∇ × E = -

∇ × H = J +

(Maxwell’s equations) (1.1.1)

∇ · D = ρ

∇ · B = 0

Yang pertama adalah Faraday hukum 4 tridualon, kedua adalah hukum Ampere sebagaimana telah diubah dengan Maxwell untuk Sertakan perpindahan EDI saat ini di, ketiga dan keempat adalah Gauss untuk medan listrik dan magnet. Dill saat perpindahan sekarang & dalam hukum Ampire sangat penting dalam memprediksi keberadaan gelombang elektromagnetik yang menyebar. Perannya dalam membangun conser-vation charge Dibahas di Sec. 1.7. Jumlah D dan B adalah kerapatan fluks listrik dan magnetik dan dalam satuan (coulomb / m = l dan (weber / mi. atau ( iesta ). D Juga disebut perpindahan ekcuic , dan B. Induksi magnetik. Kuantitas p dan J adalah densitas muatan wlume dan rapat arus listrik (muatan fluks) dari setiap muatan GUMMI (yang Ls , tidak termasuk biaya polarisasi terinduksi dan arus) Sisi kanan dari persamaan keempat adalah nol karena tidak ada muatan mono-pole magnetik. Persamaan . (1.3.17) - ( 1.3.19) menampilkan istilah polarisasi yang diinduksi secara eksplisit. Tegangan dan kepadatan arus p.) dapat dianggap sebagai sumber medan elektro-magnetik. Untuk masalah propagasi gelombang, kepadatan ini dilokalisasi dalam ruang; misalnya, mereka dibatasi untuk mengalir di antena. Bidang netic yang dihasilkan listrik dan Mag- diradiasikan jauh dari sumber-sumber ini dan dapat merambat ke jarak yang cukup jauh untuk

1 Persamaan Maxwell 2

penerimaan antena. Jauh dari sumber, yaitu di wilayah bebas sumber ruang , Persamaan Maxwell mengambil bentuk yang lebih sederhana:

∇ × E = -

∇ × H = J +

∇ · D = ρ

∇ · B = 0 (Persamaan Maxwell bebas-sumber) (1.1.2)

Mekanisme kualitatif yang dengannya persamaan Maxwell memunculkan propagasi
medan elektromagnetik ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

$Description: Description: C:\Users\User\Pictures\Medan\Capture.PNG$

(source-free Maxwell’s equations) (1.1.2)

Sebagai contoh, arus J yang bervariasi waktu pada antena linier menghasilkan sirkulasi
dan medan magnet waktu bervariasi H, yang melalui hukum Faraday menghasilkan beredar
medan listrik E , yang melalui hukum Amp`ere menghasilkan medan magnet, dan seterusnya. Itu
medan listrik dan magnet yang terhubung silang menyebar jauh dari sumber arus.

1.2 Kekuatan Lorentz

Gaya pada muatan q bergerak dengan kecepatan v di hadapan medan listrik dan magnet E , B disebut gaya Lorentz dan diberikan oleh:

F = q ( E + v × B ) (Kekuatan Lorentz) (1.2.1)

Persamaan gerak Newton adalah (untuk kecepatan non-relativistik):

= F = q(E + v × B) (1.2.2)

dimana m adalah massa muatan. Kekuatan F akan meningkatkan energi kinetik dari menagih pada tingkat yang sama dengan tingkat pekerjaan yang dilakukan oleh pasukan Lorentz atas tuduhan itu, yaitu, v · F. Memang, waktu-turunan dari energi kinetik adalah:

W kin =

m v · v ⇒

= m v ·

= v · F = q v · E (1.2.3)

Gaya listrik yang berkontribusi pada peningkatan energi kinetik— gaya magnet tetap tegak lurus terhadap v , yaitu, v · ( v × B ) = 0.

1.3. Hubungan Konstitutif 3

Volume muatan dan distribusi saat ini ρ, J juga dikenakan kekuatan dalam kehadiran ladang. Gaya Lorentz per satuan volume yang bekerja pada ρ, J diberikan oleh

f = ρE + J × B (Lorentz force per unit volume) (1.2.4)

dimana f diukur dalam satuan [newton / m 3 ]. Jika J muncul dari gerak tuduhan dalam distribusi ρ , maka J = ρ v (seperti yang dijelaskan dalam Bagian 1.6). Dalam hal ini,

f = ρ( E + v × B ) (1.2.5)

Dengan analogi dengan Persamaan. (1.2.3), kuantitas v · f = ρ v · E = J · E mewakili kekuatan per satuan volume dari gaya yang bekerja pada muatan yang bergerak, yaitu, daya yang dikeluarkan oleh (atau hilang dari) ladang dan diubah menjadi energi kinetik dari muatan, atau panas. Saya memiliki unit [watt / m 3 ]. Kami akan menunjukkannya dengan

= J · E (ohmic power losses per unit volume) (1.2.6)

1.3 Hubungan Konstitutif

Kerapatan fluks listrik dan magnetik D , B berhubungan dengan intensitas medan E , H melalui yang disebut relasi konstitutif. Mereka mengambil bentuk yang paling sederhana:

D = 0E (1.3.1)
B = μ0H

dimana 0 , μ 0 adalah permitivitas dan permeabilitas vakum, dengan nilai numerik:

ε0 = 8.854 × 10-12 farad/m (1.3.2)

Dari dua kuantitas 0 , μ 0 , kita dapat mendefinisikan dua konstanta fisik lainnya, yaitu, kecepatan cahaya dan impedansi karakteristik vakum

4 1. Persamaan Maxwell

Bentuk hubungan konstitutif yang paling sederhana berikutnya adalah sederhana homogen isotropic dielectric dan untuk material magnetic

D = E (1.3.4)
B = μH

Ini biasanya berlaku pada frekuensi rendah. permitivitas dan permeabilitas μ terkait dengan kerentanan listrik dan magnetik dari material sebagai berikut:

= 0(1 + χ) (1.3.5)
μ = μ0(1 + χm)https://www.blogger.com/u/2/blogger.g?blogID=8326596266550617134#editor/target=post;postID=4255714927849259475;onPublishedMenu=allposts;onClosedMenu=allposts;postNum=0;src=postname

Kepekaan χ, χ m adalah ukuran dari polarisasi listrik dan magnetik sifat material. Sebagai contoh, kami memiliki kerapatan fluksi listrik

D =

E =

0(1 + χ)E =

E +

0χE =

0E + P (1.3.6)

dimana kuantitas P = 0 χ E menunjukkan polarisasi dielektrik dari material, itu adalah momen dipol listrik rata-rata per satuan volume. Dalam material magnetik, kami punya

B = μ 0 ( H + M ) = μ 0 ( H + χ m H ) = μ 0 ( 1 + χ m ) H = μ H (1.3.7 )

dimana M = χ m H adalah magnetisasi , yaitu momen magnetik rata-rata per unit volume. Kecepatan cahaya dalam material dan impedansi karakteristik adalah:

(1.3.8)

Relatif permitivitas, permeabilitas dan indeks bias material didefinisikan oleh

rel=

= 1 + χ , μrel =

= 1 + χm , n =

(1.3.9)

sehingga n 2 = rel μ rel. Menggunakan definisi Persamaan. (1.3.8), kita dapat menghubungkan kecepatan cahaya dan impedansi material ke nilai vakum yang sesuai:

(1.3.10)

η =

= ηo

Untuk bahan non-magnetik, kami memiliki μ = μ 0 , atau, μ rel = 1, dan impedansi menjadi hanya η = η 0 / n , hubungan yang akan kita gunakan secara luas dalam buku ini. Secara umum, hubungan konstitutif mungkin tidak homogen, anisotropik, nonlinier, bergantung pada frekuensi (dispersif), atau semua hal di atas.

D ( r , t ) = ( r ) E ( r , t)

1.3. Hubungan Konstitutif 5

Dalam bahan anisotropik , tergantung pada x, y, z arah dan hubungan konstitutif dapat ditulis komponen-bijaksana dalam bentuk matriks (atau tensor):

[

]{

}[

] (1.3.11)

Anisotropi adalah sifat yang melekat pada struktur atom / molekul dari dielektrik c. Ini mungkin juga disebabkan oleh penerapan bidang eksternal. Misalnya, konduktor dan plasma dalam presen ce dari medan magnet konstan seperti ionosfer dalam kehadiran medan magnet Bumi — menjadi anisotropic. Dalam bahan nonlinear , mungkin tergantung pada besarnya E dari medan listrik yang digunakan dalam bentuk:

D = (E ) E , di mana (E) = + 2 E + 3 E 2 + · · · (1.3.12)

Efek nonlinier diinginkan dalam beberapa aplikasi, seperti berbagai jenis efek elektrooptik yang digunakan dalam modulator fase cahaya dan retarder fase untuk mengubah polarisasi. Konsekuensi khas dari nonlinier adalah menyebabkan generasi lebih tinggi harmonik, misalnya, jika E = E 0 e jωt , maka Persamaan. (1.3.12) memberi:

D = (E ) E = E + 2 E 2 + 3 E 3 + · · · = E 0 e jωt + 2 E 02 e 2 jωt + 3 E 03 e 3 jωt + · · ·

Jadi frekuensi input ω digantikan oleh ω, 2 ω, 3 ω , dan seterusnya. Dalam sistem transmisi multiwavelength , sinyal pada frekuensi pembawa yang berjarak dekat, nonlinieritas tersebut akan menyebabkan munculnya frekuensi baru / crosstalkamong saluran asli. Sebagai contoh, jika sistem membawa frekuensi ω i , i =
1 , 2 ,. . . , Maka kehadiran nonlinier E kubik 3 akan menyebabkan munculnya frekuensi ω i ± ω j ± ω k . Khususnya, frekuensi ω i + ω j - ω k kemungkinan besar menjadi bingung sebagai crosstalk karena jarak dekat dari frekuensi pembawa, respons polarisasi material tidak bisa seketika. Respons dinamis seperti itu dapat dijelaskan oleh konvolusional (dan kausal) konstitutif hubungan: D ( r , t) = (t - t ) E ( r ,t) dt (1.3.13)

yang menjadi multiplikatif dalam domain frekuensi:

D(r, ω)= (ω)E(r, ω) (1.3.14)

Semua material, sebenarnya, dispersif. Namun, (ω) biasanya menunjukkan ketergantungan yang kuat pada ω hanya untuk frekuensi tertentu. Misalnya, air pada frekuensi optik indeks bias n = √ rel = 1 . 33, tetapi pada RF turun ke dc, ia memiliki n = 9

6 1. Persamaan Maxwell

Dalam Bagian 1.10–1.15, kita membahas model sederhana dari (ω) untuk dielektrik, konduktor ,
dan plasma, dan memperjelas sifat hukum Ohm:

J = σE (Ohm’s law) (1.3.15)

. Salah satu konsekuensi utama dari dispersi bahan adalah penyebaran pulsa , yaitu pelebaran progresif pulsa karena menggangu melalui bahan seperti itu. Batas efek ini kecepatan data di mana pulsa dapat ditransmisikan. Ada jenis lain dari dispersi, seperti dispersi intermodal di mana beberapa mode dapat merambat secara bersamaan, atau dispersi waveguide yang diperkenalkan oleh dinding pembatas dari sebuah pandu gelombang.

kepadatan ρ, J mewakili muatan eksternal dan bebas dan arus dalam medium material. Polarisasi P terinduksi dan magnetisasi M dapat dibuat eksplisit dalam persamaan Maxwell dengan menggunakan hubungan konstitutif:

D = E + P , B = μ 0 ( H + M ) (1.3.16)

Memasukkan ini dalam Persamaan. (1.1.1), misalnya, dengan menulis ∇ × B = μ 0 ∇ × ( H + M ) =
μ 0 ( J + D ˙ + ∇ × M ) = μ 0 ( E ˙ + J + P ˙ + ∇ × M ) , kita dapat mengungkapkan persamaan Maxwell di
ketentuan bidang E dan B :

∇ × E = -
∇ × B = μ 0 + μ 0 [ J + + ∇ × M ]

∇ · E = ( ρ - ∇ · P )

∇ · B = 0

kerapatan arus dan muatan karena polarisasi bahan sebagai:

J pol = , ρ pol = - ∇ · P (kepadatan polarisasi) (1.3.18)

Demikian pula, kuantitas J mag = ∇ × M dapat diidentifikasi sebagai arus magnetisasi density (perhatikan bahwa ρ mag = 0.) Total kepadatan arus dan muatan adalah:

J tot = J + J pol + J mag = J + + ∇ × M (1.3.19)

ρ tot = ρ + ρ pol = ρ - ∇ · P

1.4. Media Indeks Negatif 7

dan dapat dianggap sebagai sumber bidang dalam Persamaan. (1.3.17). Di Sec. 15.6, kami periksa
interpretasi ini lebih lanjut dan menunjukkan bagaimana hal itu mengarah pada teorema kepunahan Ewald-Oseen
dan penjelasan mikroskopis tentang asal-usul indeks bias.

Persamaan Maxwell tidak menghalangi kemungkinan bahwa satu atau kedua kuantitas
, μ negatif. Misalnya, plasma di bawah frekuensi plasma mereka, dan logam hingga
frekuensi optik, miliki < 0 dan μ> 0, dengan aplikasi yang menarik seperti permukaan
plasmons (lihat Bagian 8.5).

sifat elektromagnetik, seperti memiliki indeks bias negatif dan pembalikan hukum Snel .
Properti baru dari media tersebut dan aplikasi potensialnya telah dihasilkan
banyak minat penelitian [391–473]. Contoh media tersebut, disebut " metamaterial " ,
telah dibangun menggunakan array periodik dari kabel dan resonator split-ring, [397]
dan oleh elemen saluran transmisi [430–432.452.465], dan telah ditunjukkan untuk dipamerkan
sifat-sifat yang diprediksi oleh Veselago . Saat rel < 0 dan μ rel < 0, indeks bias, n 2 = rel μ rel , harus didefinisikan oleh akar kuadrat negatif n = -√ rel μ rel . Karena kemudian n < 0 dan μ rel < 0 akan berarti
bahwa impedansi karakteristik medium η = η 0 μ rel / n akan positif.

1.5 Ketentuan Batas

Kondisi batas untuk medan elektromagnetik melintasi batas-batas material
diberikan di bawah:

$Description: Description: C:\Users\User\Pictures\Medan\w.PNG$ E1t - E2t = 0

H1t - H2t = Js × nˆ (1.5.1)

D1n - D2n = ρs

B1n - B2n = 0

dimana n ˆ adalah vektor satuan normal ke batas yang menunjuk dari medium-2 ke medium-1. Kuantitas ρ s , J s . Dalam kata-kata, komponen tangensial dari E -field terus menerus di seluruh antarmuka; perbedaan komponen tangensial dari H -Field sama dengan permukaan

8 1. Persamaan Maxwell

kepadatan arus; perbedaan komponen normal dari kerapatan fluks D adalah sama
untuk densitas muatan permukaan; dan komponen normal dari kerapatan fluksi magnetik
B terus menerus. The D n kondisi batas juga dapat ditulis bentuk yang memunculkan ketergantungan pada muatan permukaan polarisasi:

( 0 E 1 n + P 1 n ) - ( 0 E 2 n + P 2 n ) = ρ s ⇒ 0 (E 1 n - E 2 n ) = ρ s - P 1 n + P 2 n = ρ s, tot

Kepadatan muatan total permukaan akan menjadi ρ s, tot = ρ s + ρ 1 s, pol + ρ 2 s, pol , kepadatan muatan polarisasi terakumulasi pada permukaan dielektrik terlihat menjadi ( n ˆ adalah normal luar dari dielektrik):

ρs,pol = Pn = nˆ · P (1.5.2)

Arah relatif dari vektor medan ditunjukkan pada Gambar 1.5.1. Setiap vektor mungkin
didekomposisi sebagai penjumlahan bagian yang bersinggungan dengan permukaan dan bagian yang tegak lurus
untuk itu, yaitu, E = E t + E n . Menggunakan identitas vektor,

E = n × (E × n) + n (n · E) = E t + E n (1.5.3)

kami mengidentifikasi dua bagian ini sebagai:

$Description: Description: C:\Users\User\Pictures\Medan\q.PNG$ E t = n × (E × n), E n = n (n · E) = n E n

Gambar 1.5.1 Petunjuk lapangan di batas.

Dengan menggunakan hasil ini, kita dapat menulis dua kondisi batas pertama berikut ini
bentuk vektor , di mana bentuk kedua diperoleh dengan mengambil produk silang dari
pertama dengan n ˆ dan mencatat bahwa J s adalah murni tangensial:

nˆ × (E1 × nˆ)- nˆ × (E2 × nˆ) = 0 ˆ × (E1 - E2) = 0 or, (1.5.4) nˆ × (H1 × nˆ)- nˆ × (H2 × nˆ) = Js × n nˆ × (H1 - H2) = Js

Kondisi batas (1.5.1) dapat diturunkan dari bentuk terintegrasi dari Maxwell's
persamaan jika kita membuat beberapa asumsi keteraturan tambahan tentang bidang di antarmuka.

1,6. Aktual, Flux, dan Hukum Konservasi 9

Dalam banyak masalah antarmuka, tidak ada biaya atau arus permukaan yang diterapkan secara eksternal pada batas. Dalam kasus seperti itu, kondisi batas dapat dinyatakan sebagai:

E1t = E2t

H1t = H2t

D1n = D2n (kondisi batas bebas-sumber) (1.5.5) B1n = B2n

1,6 Arus, Flux, dan Hukum Konservasi

Densitas arus listrik J adalah contoh dari vektor fluks yang mewakili aliran muatan listrik. Secara umum, fluks kuantitas Q didefinisikan sebagai jumlah kuantitas itu mengalir (tegak lurus) melalui suatu permukaan unit dalam satuan waktu. Jadi, jika jumlahnya ΔQ mengalir melalui permukaan ΔS pada waktunya thent , maka:

J =

(definition of flux) (1.6.1)

Ketika kuantitas mengalir Q adalah muatan listrik, jumlah arus yang lewat
permukaan ΔS akan menjadi ΔI = ΔQ / Δt , dan oleh karena itu, kita dapat menulis J = ΔI / ΔS , dengan satuan
dari [ ampere/m 2 ]. Fluks adalah kuantitas vektor yang arahnya menunjuk ke arah aliran. Sana
adalah hubungan mendasar yang menghubungkan vektor fluks J dengan kecepatan transportasi v
dan kerapatan volume ρ dari kuantitas yang mengalir:

J = ρ v (1.6.2)

Ini dapat diturunkan dengan bantuan Gambar 1.6.1. Pertimbangkan permukaan ΔSelurus tegak lurus dengan kecepatan aliran. Pada waktunya Δt , seluruh jumlah kuantitas yang terkandung dalam volume silinder tinggi vΔt akan mengalir melalui ΔS . Jumlah ini sama dengan kerapatan kali material volume silinder ΔV = ΔS ( vΔt ) , itu adalah, ΔQ = ρΔV = ρ ΔS vΔt . Jadi, menurut definisi:

J =

= ρv

Hukum J = σ E. Ketika vektor J mewakili fluks energi dari propagasi gelombang elektromagnetik dan ρ energi yang sesuai per satuan volume, kecepatan propagasi adalah kecepatan cahaya, Persamaan itu. (1.6.2) akan mengambil formulir:

Jen = cρen (1.6.3)

† Dalam pengertian ini, istilah "kerapatan fluks listrik dan magnetik" untuk jumlah D , B adalah sedikit dari a keliru karena mereka tidak mewakili apa pun yang mengalir

1. Persamaan Maxwell 10

Demikian pula, ketika J mewakili momentum fluks, kita berharap memiliki J _mom ₌ _mom Momentum flux didefinisikan sebagai J _mom = p / ( S ) = F / S, di mana p menunjukkan momentum dan ΔF = Δp / Δt adalah laju perubahan momentum, atau gaya, yang diberikan pada permukaan ΔS. Insiden gelombang elektromagnetik pada permukaan material memberikan tekanan (dikenal sebagai tekanan radiasi), yang dapat dihitung dari vektor momentum fluks. Fluk sinus mengukur sebuahsensitas bercabang berat, yaitu, J _ibu = ρen , yang berarti bahwa ρen = ρ _ibu ^c . Ini konsisten dengan teori relativitas, yang menyatakan bahwa hubungan energi-momentum untuk foton adalah E = p c.

1.7 Konservasi Biaya

Maxwell menambahkan istilah saat perpindahan ke hukum Ampere untuk menjamin konservasi biaya. Dari kedua sisi hukum Amp`ere dan menggunakan hukum Gauss ∇ · D= ρ, kita mendapatkan:

∇. ∇

H = ∇ . J + ∇ .

= ∇. J +

∇ .D = ∇ . J +

Menggunakan identitas vektor ∇ . ∇ H = 0, kita memperoleh bentuk diferensial dari hukum pembebanan biaya:

+ ∇ . J = 0 (konservasi biaya)

Mengintegrasikan kedua sisi atas volume tertutup V yang dikelilingi oleh permukaan S, seperti ditunjukkan pada Gambar 1.7.1, dan menggunakan teorema divergensi, kita memperoleh bentuk terintegrasi Persamaan. (1.7.1):

Sisi kiri mewakili jumlah total muatan yang mengalir keluar melalui permukaan S per satuan waktu. Sisi kanan mewakili jumlah yang muatannya menurun dalam volume V per satuan waktu. Muatan tidak hilang ke (atau diciptakan dari) ketiadaan — ia berkurang di suatu wilayah ruang karena ia mengalir ke wilayah lain. Konsekuensi lain dari Persamaan. (1.7.1) adalah dalam konduktor yang baik, tidak mungkin ada muatan volume yang terakumulasi. Setiap muatan seperti itu akan cepat berpindah ke permukaan konduktor dan mendistribusikan dirinya sedemikian rupa sehingga membuat permukaan menjadi permukaan ekipotensial.

Karena energi dapat diubah menjadi bentuk yang berbeda, konservasi yang sesuai Persamaan harus memiliki istilah non-nol di sisi kanan sesuai dengan tingkat di mana energi hilang dari ladang ke bentuk lain, seperti panas. Dengan demikian, kami mengharapkan Persamaan memiliki :

Dengan asumsi hubungan konstitutif biasa D = E dan B = μH, rumus dibawah menggambarkan kerapatan energi dan fluks energi bidang didefinisikan sebagai berikut

Di mana |E|2 = E · E . Kuantitas

dan P diukur dalam satuan [joule/m3] dan [watt/m2], lalu kita temukan :

Dengan menggunakan hukum Ampere dan Faraday, sisi kanan menjadi:

Kuantitas J · E menunjukkan kerugian ohmik, itu adalah daya per satuan volume hilang menjadi panas. Bentuk terintegrasi dari Persamaan itu adalah sebagai berikut :

Ini menyatakan bahwa kekuatan total yang memasuki volume (V) melalui permukaan (S berjalan sebagian untuk meningkatkan energi medan yang tersimpan di dalam V dan sebagian hilang menjadi panas.

Contoh : Konsep energi dapat digunakan untuk memperoleh formula sirkuit untuk kapasitansi, induktansi, dan ketahanan. Misalnya, kapasitor pelat biasa dengan pelat-pelat area A dipisahkan oleh jarak l, dan diisi dengan dielektrik. Tegangan antara pelat terkait dengan medan listrik di antara lempengan melalui V = El

               Kepadatan energi medan listrik antara pelat adalah w = E2 / 2. A · l akan memberikan total energi yang tersimpan dalam kapasitor. Menyamakan ini dengan rangkaian ekspresi CV2 / 2, akan menghasilkan kapasitansi C :

Selanjutnya, pertimbangkan solenoid dengan tikungan yang melingkari inti besi berbentuk silinder dengan panjang l, luas penampang lintang A, dan permeabilitas μ. Arus yang melalui kawat solenoid adalah terkait dengan medan magnet di inti melalui hukum Amp`ere Hl = nI. Itu mengikuti bahwa energi magnet yang tersimpan di solenoid akan menjadi:



Akhirnya, pertimbangkan sebuah resistor panjang l, luas penampang A, dan konduktivitas σ. Itu penurunan tegangan resistor berhubungan dengan medan listrik sepanjang melalui V = El.

Daya yang dihamburkan menjadi panas per satuan volume adalah JE = σE2. Mengalikan ini dengan volume resistor Al dan menyamakannya dengan ekspresi rangkaian V2 / R = RI2 akan memberikan :

Hukum konservasi juga dapat diturunkan untuk momentum yang dibawa oleh elektromagnetik field [41.1293]. Ini dapat ditunjukkan bahwa momentum per satuan volume dibawa oleh ladang diberikan oleh:

di mana kami menetapkan D = E, B = μH, dan c = 1 / √μ. Kuantitas Jmom = cG = P / c akan mewakili fluks momentum, atau tekanan. Persamaan Maxwell menyederhanakan secara signifikan dalam kasus ketergantungan waktu. Solusi umum persamaan Maxwell bisa dibangun sebagai kombinasi linear dari solusi frekuensi tunggal :

Jadi, kami berasumsi bahwa semua bidang memiliki ketergantungan waktu ejωt:

di mana amplitudo fasor E (r), H (r) bernilai kompleks. Mengganti turunan waktu oleh ∂t → jω, kita dapat menulis ulang Persamaan dalam bentuk:

Selanjutnya, kami meninjau beberapa konvensi tentang fasor dan rata-rata waktu. Sinusoid bernilai nyata memiliki representasi fasor yang kompleks:

               dimana A = | A | ejθ. Dengan demikian, kami memiliki A (t) = Re A(t) = Re Aejωt. Rata-rata waktu dari jumlah A (t) dan A (t) selama satu periode T = 2π / ω adalah nol.

               Waktu rata-rata produk dari dua kuantitas harmonik A (t) = Re Aejωt dan B (t) = Re Bejωt dengan phasors A, B diberikan oleh :

Secara khusus, nilai rata-rata persegi diberikan oleh:

Beberapa waktu yang menarik rata-rata dalam masalah gelombang elektromagnetik adalah rata-rata waktu dari kepadatan energi, vektor Poynting (fluks energi), dan kekuatan ohmik per satuan volume. Menggunakan definisi dan hasilnya, kami punya untuk waktu rata-rata ini:

di mana Jtot = J + jωD adalah arus total di sisi kanan hukum Ampere dan menyumbang baik kerugian konduksi dan dielektrik. Versi rata-rata teorema Poynting dibahas dalam ungkapan untuk densitas energi (w) diturunkan berdasarkan asumsi bahwa keduanya dan μ adalah konstanta independen dari frekuensi. Dalam media dispersif, μ menjadi fungsi frekuensi. dapat ditunjukkan bahwa waktu rata-rata kerapatan energi digeneralisasikan ke:

Derivasi adalah sebagai berikut. Dimulai dengan persamaan Maxwell dan tanpa mengasumsikan hubungan konstitutif tertentu, kami memperoleh:

Seperti dalam Persamaan, kami ingin menafsirkan dua istilah pertama di sisi kanan

sebagai turunan waktu dari kepadatan energi, yaitu :

Mengantisipasi representasi seperti fasor, kita dapat menganggap bidang yang bernilai kompleks dan memperoleh juga hubungan berikut dari persamaan Maxwell:

dari mana kita dapat mengidentifikasi versi "time-averaged" dari dw Idt,

Dalam suatu dielektrik dispersif, hubungan konstitutif antara D dan E dapat ditulis sebagai fallows dalam ti saya dan domain frekuensi s: t

di mana transformasi Fourier didefinisikan oleh

Turunan-waktu dari D (t) kemudian

di mana ia mengikuti dari Persamaan itu

Berikut, kami  merepresentasi kuasi-harmonik untuk medan listrik, E (t) = Eo (t) eJwot, di mana Eo (t) adalah fungsi waktu yang berubah secara perlahan-lahan. Secara ekuivalen, dalam domain frekuensi kita memiliki E (w) = Eo (ω - ωo. Karena E (ω) menggandakan fungsi narrowband E (ω), kita dapat memperluas WE (ω) dalam deret Taylor di sekitar ωo dan hanya mempertahankan istilah linear, kita dapat mengganti:

Memasukkan ini ke Persamaan. (1.9.14), kita mendapatkan aproksimasi

Karena kita berasumsi bahwa E (w) adalah real di sekitar w 0, maka itu berarti bahwa:

               Kita melihat bahwa kuantitas di bawah turunan waktu di sisi kanan dapat diartikan sebagai kerapatan energi waktu-rata-rata untuk medan listrik. Argumen serupa dapat diberikan untuk istilah energi magnetik Persamaan.

               Densitas energi terdiri dari dua bagian : satu bagian sama dengan yang ada dalam kotak hampa udara; bagian lain muncul dari energi kinetik dan potensial yang disimpan dalam molekul polarizable dari medium dielektrik.

               Ekspresi analog juga dapat diturunkan untuk kerapatan momentum gelombang dalam medium dispersif. Dalam ruang hampa, kerapatan momentum rata-rata diberikan oleh Persamaan :

Untuk kasus dispersif ini menggeneralisasikan ke

               Model sederhana untuk sifat dielektrik suatu material diperoleh dengan mempertimbangkan gerakan elektron terikat di hadapan medan listrik. Ketika medan listrik mencoba memisahkan elektron dari inti bermuatan positif, ia menciptakan momen dipol listrik.

               Model sederhana untuk dinamika perpindahan (x) elektron terikat adalah sebagai berikut (dengan x = dx! Dt):

               Konstanta pegas (k) berhubungan dengan frekuensi resonansi pegas melalui hubungan w 0 = J k / m atau k = mw6. Oleh karena itu, kita dapat menulis ulang Persamaan sebagai

               Dalam beberapa jenis konduktor, τ adalah urutan 10 − 14 detik, misalnya, untuk tembaga, τ = 2.4×10−14 detik and γ = 4.1×1013 −1. Kasus plasma yang renggang dan tidak bertabrakan dapat diperoleh dalam batas y = 0. Dengan demikian, model sederhana di atas dapat menggambarkan kasus :

a. Dielektrik, ω0 =0,γ=0.

b. Konduktor, ω0 =0,γ=0.

c. Plasma yang bertabrakan, ω0 =0,γ=0.

               Ide dasar dari model ini adalah bahwa medan listrik yang digunakan cenderung memisahkan muatan positif dari negatif, sehingga menciptakan momen dipol listrik

               Medan listrik terapan E (t) dalam Persamaan dapat memiliki ketergantungan waktu. Secara khusus, jika kita menganggap itu sinusoidal dengan frekuensi w, E (t) = Eejw. Lalu, akan memiliki solusi x (t) = x ej wt, di mana phasor x harus memenuhi :

yang diperoleh dengan mengganti derivative waktu oleh ∂t →jω. Solusi nya adalah:

Kecepatan yang sesuai dari elektron akan menjadi v (t) = veJw t, di mana v = x = j wx. Dengan demikian, kami memiliki:

Dari Persamaan diatas, kita dapat menemukan polarisasi per satuan volume. Momen dipol listrik individu adalah p = ex. Oleh karena itu, polarisasi per satuan volume akan menjadi:

Kerapatan fluks listrik akan menjadi:

dimana permitivitas efektif

(ω) adalah:

Ini dapat ditulis dalam bentuk yang lebih nyaman, seperti :

Dimana  adalah apa yang disebut plasma fr equency dari material yang didefinisikan oleh:

Model yang didefinisikan diatas dikenal sebagai "Lorent z dielectric." Kerentanan yang sesuai, didefinisikan melalui

(ω) =

0 (1+χ(ω). Untuk dielektrik, kita dapat menganggap wo - / =. 0. Kemudian, batas frekuensi rendah (w = 0). Persamaan yang memberikan konstanta dielektrik nominal :

Bagian nyata dan imajiner dari E (w) mengkarakterisasi hubungan yang refraktif. Dengan konvensi, kami mendefinisikan bagian imajiner dengan tanda negatif :

                               Gambar : Bagian nyata dan imajiner dari tivity izin efektif E (w).

Bahan dielektrik nyata menunjukkan beberapa frekuensi resonansi seperti itu yang menanggapi berbagai mode vibrasi dan mekanisme polarisasi. Permitivitas menjadi penjumlahan dari istilah-istilah tersebut :

Lebih tepatnya kuantum yang pada dasarnya mengarah ke rumus yang sama:

Dimana ωi adalah frekuensi transisi antara tingkat energi yaitu ωi =(E −Ei)/ dan Ni-N adalah kumpulan yang lebih rendah. Kuantitas f I biasa disebut  “oscillator strengths.” Misalnya, untuk atom dua tingkat yang kita miliki:

dimana kami mendefinisikan:

               Aturan  untuk indeks bias, Persamaan dapat ditulis dalam bentuk berikut, yang dikenal sebagai Persamaan Sellmeier (di mana B adalah konstanta):

Gambar : permitivitas efektif dalam medium gain dua tingkat dengan f = −1.

Dalam prakteknya, Persamaan diterapkan dalam rentang frekuensI yang jauh dari semua resonansi sehingga seseorang dapat secara efektif mengatur y i = 0:

Sifat konduktivitas material dijelaskan oleh hukum Ohm. Untuk memperoleh hukum ini dari model sederhana kami, kami menggunakan hubungan i = pv, di mana kerapatan volume dari muatan konduksi adalah p = Ne.

dan oleh karena itu, kami mengidentifikasi konduktivitas σ(ω):

Kami mencatat bahwa σ(ω)/jω pada dasarnya adalah kerentanan listrik yang dipertimbangkan di atas. Memang, kita memiliki J = Nev = Nejωx = jωP, dan dengan demikian, P = J/jω = (σ(ω)/jω)E. Ini mengikuti

(ω)−

0 =σ(ω)/jω, dan

1. Persamaan Maxwell

permitivitas efektif dalam medium gain dua tingkat dengan f = −1.

Persamaan :

di mana λ dan λi berada dalam satuan μm:

1. Konduktor

Sifat konduktivitas material dijelaskan oleh Ohm hukum

mengidentifikasi konduktivitas σ (ω):

mengikuti bahwa (ω) −0 = σ (ω) / jω :

1. Konduktor

kita mendapatkan:

Model yang didefinisikan dikenal sebagai “model pemalsuan”.

Konduktivitas nominal diperoleh pada batas frekuensi rendah, ω = 0:

Contoh 1.12.1: Tembaga memiliki kerapatan massa 8,9 × 106 gr / m3 dan berat atom 63,54 (gram per mol.) Menggunakan jumlah Avogadro sebesar 6 × 1023 atom per mol, dan dengan asumsi satu elektron konduksi per atom, kita menemukan kepadatan volume N:

Oleh karena itu:

dimana kami menggunakan e = 1,6 × 10−19, m = 9.1 × 10−31, γ = 4.1 × 1013. Frekuensi plasma tembaga dapat dihitung dengan

yang terletak di kisaran ultraviolet.

1. Persamaan Maxwell

dimana u (t) adalah fungsi satuan-langkah. Sebagai contoh, misalkan medan listrik E (t) adalah medan listrik konstan yang tiba-tiba dihidupkan pada t = 0, yaitu, E (t) = Eu (t). Kemudian, waktu respon arus akan menjadi:

mana σ = 0ω2 p / γ adalah konduktivitas nominal material.

Membangun arus juga dapat dipahami dalam hal persamaan gerak dari biaya melakukan.

Persamaan :

Dengan mengasumsikan E (t) = Eu (t), kita memperoleh solusi konvolusional:

Kepadatan arus steady state menghasilkan hukum konvensional Ohm:

1. Mengisi Relaksasi di Konduktor

hukum Ohm dibaca dalam domain waktu:

Mengambil perbedaan dari kedua sisi dan menggunakan konservasi muatan,∇· J + ˙ ρ = 0, dan hukum Gauss, 0∇· E = ρ, kita memperoleh persamaan integro-diferensial berikut untuk densitas muatan ρ (r, t)

Membedakan kedua sisi dengan memperhatikan t, kita menemukan bahwa ρ memuaskan persamaan diferensial orde kedua:

yang solusinya mudah diverifikasikan menjadi kombinasi linier dari:

Dengan demikian, muatan yang kuat secara teoritis dapat menyebabkan konstanta waktu konstan yang dua kali waktu tumbukan τ = 1 / γ:

1. Kerugian Daya

Dengan asumsi parameter yang berbeda {ω0, ωp, γ} untuk setiap istilah, kita mendapatkan total permitivitas:

1. Persamaan Maxwell

Pada batas frekuensi rendah, ω = 0, jumlah d (0) dan σc (0) mewakili konstanta dielektrik nominal dan konduktivitas material. Kami juga mencatat bahwa kami dapat menulis Persamaan.

Kedua istilah ini mencirikan kepentingan relatif arus konduksi dan arus perpindahan (polarisasi). Sisi kanan dalam hukum Ampere memberikan arus efektif total:

mana istilah Jdisp = ∂D / ∂t = jωd (ω) E menunjukkan arus perpindahan. Kekuatan relatif antara konduksi dan perpindahan arus adalah rasio:

Kerugian daya ohm waktu rata-rata per satuan volume dalam bahan lossy diberikan oleh Persamaan. (1.9.6). Penulisan, kami memiliki:

Denoting | E | 2 = E · E *, berikut ini:

1. Plasmas

kita temukan dengan menyamakan bagian nyata dan imajiner Persamaan :

Kemudian, kerugian daya dapat ditulis dalam bentuk yang memisahkan kerugian akibat konduksi dan yang disebabkan oleh sifat polarisasi dielektrik:

Cara mudah untuk menghitung kerugian adalah dengan menggunakan tangen kerugian yang didefinisikan dalam istilah bagian nyata dan imajiner dari permitivitas efektif:

dimana θ adalah sudut kerugian.

1. Plasma

Persamaaan menjadi imajiner murni:

Permitivitas efektif Persamaan yang sesuai. menjadi murni nyata:

propagasi bilangan gelombang elektromagnetik yang menyebar dalam media dielektrik / konduktif diberikan dalam hal permitivitas efektif oleh:

1. Persamaan Maxwell

Ini mengikuti bahwa untuk plasma:

Pada frekuensi seperti itu, insiden gelombang (biasanya) pada ionosfer dari tanah tidak dapat menembus dan dipantulkan kembali.

1. Densitas Energi di Diselective Dispersive Lossless

Dalam hal ini permitivitas adalah:

bahwa:

Dengan demikian, bagian listrik dari kepadatan energi akan menjadi:

perpindahan x dan kecepatan v = x ˙ dari muatan polarisasi adalah dalam hal ini:

Energi mekanik rata-rata waktu (per satuan volume) diperoleh dengan menambahkan energi kinetik dan potensial:

dapat ditulis sebagai jumlah:

1.17 Kramers-Kronig Dispersion Relations

konvolusi biasa dengan memperluas rentang integrasi sepanjang waktu:

menentukan kerentanan domain waktu. fungsi x (0 melalui:

Polarisasi kemudian diberikan oleh:

pasangan transformasi Fourier:

Kondisi kausalitas, x (t) = 0 untuk t <0, dapat dinyatakan dalam fungsi satuan-langkah u (t) dengan cara yang setara:

1. Persamaan Maxwell

Menata ulang persyaratan dan membatalkan faktor dari 1/2, kita mendapatkan reagen Kramers-Kronig dalam bentuk yang bernilai kompleks:

Alasan untuk menerapkan hubungan ini ke x (w) daripada c (w) adalah bahwa x (w) jatuh cukup cepat untuk besar w untuk membuat integral dalam konvergen, sedangkan e (w) cenderung ke konstan o.

Setting X (w) = X, (w) -, ixi (w) dan memisahkan (1.17.7) ke dalam bagian nyata dan imajiner, kita mendapatkan bentuk konvensional dari hubungan dispersi Kramers-Kronig:

https://lh5.googleusercontent.com/Q5zwsHg6uiTlgPjlKRf-EFp0bAhA3GHoywqcJKVRoU5EHYP11r7dmTgcbkmETsctb1zfEvaSqYR3sYHNNrmdgcyZtuWJH-kQkiaRlYaYjACVP5PCD_5qbWeLzj4afstBm4ZMlcNVuCBhD9N8EA

Mengambil keuntungan dari simetri-simetri ini, kisaran integrasi dalam gambar diatas dapat dilipat menjadi setengah sehingga:

https://lh3.googleusercontent.com/3l9XIHPJRgO6mNs9yvlfcLFYNY_7KzmK49PRSKSJyX5_QLXuoi4P5bjRcSAJ-gegFaJ5978c3EQ7jIkgbXKkL186u2HAxidSYVul7W53NRe6wGvEN8WEI6UKTwzf1OabIa-7r0kro3ZvlYyN1A

menerapkan argumen konvolusi domain-frekuensi yang sama menggunakan pasangan transformasi Fourier:

dapat dikesampingkan kembali ke rentang waktu 0 <t <:

Ini menyiratkan bahwa x (ke) dapat secara analitis dilanjutkan ke bagian bawah w-plane, sehingga mengganti w dengan w = w - jot dengan 0 masih memberikan integral Fourier yang konvergen

1,18. Kecepatan Grup, Kecepatan Energi

Karena x (w) adalah analitik di wilayah yang dilingkungi oleh C, teorema integral Cauchy menyiratkan bahwa untuk setiap titik yang dilingkupi oleh C, artinya, terletak pada setengah bidang bawah, kita harus memiliki:

https://lh3.googleusercontent.com/8ObvDyWIe-LCNdCELH2XeLFuxYBNLOzW3CSrYPaYvofzdqpY7uEle-jp-r1f2GbEKnCBTx1xsbezwTZaEL_CrImmR6HvNhB59uFXIyFTLPXXTGQ-ATvz2Xxw_BrAHcou8Dc1Z4ThlNz0p4iKZg

Setting w = w -jc dan mengambil batas c 0+, kita mendapatkan hubungan identik dengan Persamaan. (1.17.5):

Konsekuensi menarik dari hubungan Kramers-Kronig adalah bahwa tidak ada media dielektrik yang murni lossless, yaitu, seperti itu xt (to) = 0 untuk semua w, karena ini juga akan membutuhkan Xr (ke) = 0 untuk semua.

1.18 Group Velocity, Energy Velocity

Dengan mengasumsikan material nonmagnetik (p = pa), indeks bias yang kompleks dapat didefinisikan oleh:

Persamaan Maxwell

Formulir ini mempertahankan tanda xi, yaitu, ni dan xi keduanya positif untuk menyerap media, atau keduanya negatif untuk media gain. Solusi perkiraan berikut ini sering digunakan, yang dapat dibenarkan setiap kali Ix I «1 (misalnya, dalam gas):

gelombang akan memiliki ketergantungan ruang-waktu:

menyebar dengan kecepatan kelompok yang disebut didefinisikan oleh:

https://lh6.googleusercontent.com/DD9o1yQRAiXzm3RiLIpCoO59xxew7I3gF8ZMgnbudvcMmpu5s2WqdlFLqLXzzI63QlTSxyifR9QkW1OjOoHtU2ztCFjJu4HvJTY1WJDNu15Dv9tQKmmyQS7z0JAeWEyVLf22W1Zdo8nBNDHpMg

Sebuah indeks bias kelompok dapat didefinisikan melalui vg = c / ng, atau, ng = c / vg:

dimana A adalah panjang gelombang ruang bebas yang terkait dengan w oleh A = 2Trc / w, dan kami menggunakan properti diferensiasi yang wd / dw = -Ad / dA.

1. Masalah

gelombang bidang yang menyebar sepanjang arah-z memiliki medan listrik dan magnet yang melintang ke arah-z dan dihubungkan oleh: