Chapter 4 : Propagation In Birefringent Media

Propagation In Birefringent Media

optikal aktif atau kiral Mediasecara melingkar birefringent. Contohnya adalah larutan gula, protein, lipid, asam nukleat, asam amino, DNA, vitamin, hormon, dan hampir semua zat alami lainnya. Dalam media seperti itu, gelombang terpolarisasi sirkuler tidak mengalami perubahan, dengan polarisasi kiri dan kanan melingkar pada kecepatan yang berbeda. Perbedaan ini menyebabkan gelombang terpolarisasi linier untuk memiliki pesawat polarisasi berputar ketika mereka menyebar-efek yang dikenal sebagai rotasi optik alami.

Efek yang serupa tetapi tidak identik — rotasi Faraday —mengambil tempat digyroelecric media, yang merupakan material isotropik biasa (kaca, air, konduktor, plasma) yang mengalami medan magnet eksternal konstan yang memecah isotropinya. Gyromagnetic Media, seperti ferrit yang mengalami medan magnet, juga menjadi bundar birefringent. Kami membahas semua empat kasus birefringent (linear, kiral, gyroelectric, dan gyromagnetic) dan jenis hubungan konstitutif yang mengarah kebirefringent yang sesuai

perilaku.

Gyrotropic Media

Gyrotropic^†media media yang isotropik di hadapan konstan eksternal medan magnet fi . Sebuah media gyroelectric (difrekuensi) ωmemiliki hubungan konstitutif:

Fig. 4.2.1 Linearly and circularly birefringent retarders.

Gyrotropic Media

Gyrotropic^†media media yang isotropik di hadapan konstan eksternal medan magnet fi . Sebuah media gyroelectric (difrekuensi) ωmemiliki hubungan konstitutif:

impedansi sirkular terkait η±

Ini memenuhi persamaan yang dipisahkan:

Dengan demikian, bidang dasar melingkar lengkap E_±(z) adalah:

Sekarang, komponen sirkular E + (z) menjalar ke depan dan ke belakang dengan bilangan gelombang k₊yang sama, sementara E_- menyebar dengan k_. Rotasi bidang polarisasi disebut sebagai rotasi Faraday. Jika propagasi adalah di negatif z-arah, maka peran k₊ dan k_{_}tetap tidak berubah sehingga sudut rotasi masih sama seperti yang dari Persamaan. (4.4.8).

Jika gelombang lurus linear bergerak maju dengan jarak l, tercermin, dan bergerak kembali ke titik awal, total sudut rotasi akan menjadi dua kali lipat dari perjalanan tunggal, yaitu, 2_ϕ = (k₊- k_-)l.

Casing gyromagnetik pada dasarnya identik dengan gyroelectric. Persamaan. (4.4.5) hingga (4.4.8) tetap sama, tetapi dengan bilangan gelombang sirkit dan impedansi yang ditentukan oleh:

4.5 Linear dan Edaran Dichroism

Dichroic polarizers, seperti polaroid, adalah bahan birefringent linear yang memiliki
koefisien atenuasi yang berbeda sepanjang dua arah polarisasi. Untuk materi lossy, solusi diberikan dalam Persamaan. (4.5.1) dimodifikasi sebagai berikut:

E_x= Ae^-jk
1z= Ae ^–^α1ze ^–jβ1^1z, k₁= ω β₁- j α1 (4.5.1)

E_x= Be^-jk^2z= Be ^–^α2ze ^–jβ1^1z, k₂= ω β₂- j α2

dimana α1, α2 adalah koefisien atenuasi. Melewati panjang l dari seperti itu
material, polarisasi awal dan output akan menjadi sebagai berikut:

E(0) = ẍA + ẏB

E(1) = ẍ Ae^-jk1l + ẏ Be^-jk2l = (ẍ Ae ^- ^α1 + ẏ Be ^– ^α2le ^jϕ ) e^-jβl(4.5.2)

Sebuah polarizer linier ideal akan memiliki a1 = 1 dan a2 = 0, sesuai dengan α1 = 0 dan α2 = . Nilai-nilai khas dari redaman untuk tersedia secara komersial
polaroid yangadalah urutan a1 = 0,9 dan a2 = 10-2, atau 0,9 dB dan 40 dB, masing-masing.
Media kiral dapat menunjukkan dichroism sirkular [722,735], di mana jumlah gelombang lingkar menjadi kompleks, k_± = β_± - jα_±. Persamaan (4.3.11) dibaca sekarang:

E(l) = ẻ +A+ e^-^jk⁺^l + ẻ-A- e^-^jk^-^l

= [ẻ +A+e^-^{j (k}^{+ -}^k^-^{) l /}² + ẻ -A-e^{j (k}^{+ -}^k^-^{) l /}²] e^-^{j (k}⁺⁺^k^-^{) l /}²
= [ẻ +A+e^-^ψ^-^jφ + ẻ -A-^eψ⁺^jφ] e^-^{j (k}⁺⁺^k^-^{) l /}² (4.5.3)

dimana kami mendefinisikan sudut rotasi kompleks:

φ - jψ =

(k+ - k-) l =

(β+ - β-) l - j

(α+ - α-)l (4.5.4)

Kembali ke basis linier seperti pada Persamaan. (4.5.5), kami memperoleh:

E(0)= [ẍAx + ẏ Ay]
E(l) = [ẍ^`A`_x + ẏ A`_y] e^-^{j (k}⁺⁺^k^-^{) l /}² (4.5.5)

dimana {ẍ`, ẏEQ`} adalah yang dirotasi (oleh φvektor unit persamaan). (4.3.13), dan

A`_x = A_x cosh ψ - jA_y sinh ψ
A`_y = A_y cosh ψ + jA_x sinh ψ (4.5.6)

Karena amplitudo A x, A y sekarang bernilai kompleks, polarisasi yang dihasilkan
akan elips.

4.6 Perbanyakan Miring di Birefringent Media

Aplikasi termasuk cermin polimer birefringent multilayer yang baru saja diproduksi (oleh 3M, Inc.) yang memiliki sifat optik yang luar biasa dan tidak biasa, secara kolektif
disebut sebagai optik birefringent raksasa (GBO) [698].

4.6. Propagasi Oblique di Birefringent Media

Kami ingat dari Sec. 2.10 bahwa merambat gelombang bidang seragam dalam lossless isotropik dielektrik dalam arah vektor gelombang k diberikan oleh:

E(r)= E e^{-j k·r} , H(r)= H e^-j
k·r , with ḱ· E = 0 , H =

ḱ × E (4.6.1)

dimana n adalah indeks refraktif dari medium n = n = η0 impedansi ruang bebas, dan ḱ unit-vektor ke arah k, sehingga,

k = k ḱ, k = |k| = ω= nk0 , k0 = (4.6.2)

dan k0 adalah bilangan gelombang ruang bebas. Jadi, E, H, ḱ membentuk sistem tangan kanan.

Secara khusus, mengikuti notasi Gambar. 2.10.1, jika k dipilih untuk terletak pada bidang xz
pada sudut θ dari sumbu z, yaitu, ḱ = ẍsin θ + ẑ cos θ, maka akan ada dua solusi polarisasi independen: TM, paralel, atau p-polarisasi, dan TE, tegak lurus, atau s-polarisasi, dengan bidang yang diberikan oleh

(TM, p-polarization): E = E0(ẍ cos θ - ẑ sin θ) , H =

E0 ẏ

(TE, s-polarization): E = E0 ẏ, H =

E0 (-ẍcos θ + ẑsin θ) (4.6.3)

dimana, baik dalam kasus TE dan TM, propagasi faktor fase^e-jk·r adalah:

e^{-jk
· r}= e^-j(kzz+kxx) = e^{-jk0n (z cos θ + x sin θ)} (4.6.4)

Antarmuka dielektrik diambil menjadi bidang xy dan bidang xz menjadi
bidang insiden. Dalam media birefringent, propagasi gelombang bidang seragam
vektor gelombang k jauh lebih sulit untuk dijelaskan. Sebagai contoh, arah
vektor Poynting tidak menuju k, medan listrik E tidak ortogonal terhadap k,sederhana
hubungan dispersik = nω / c₀ tidak valid, dan seterusnya.

Hubungan konstitutif diasumsikan menjadi B = μ₀H dan permitivitas diagonal
tensor untuk D. ε_1,ε_2,ε₃ menjadi nilai-nilai permitivitas sepanjang tiga sumbu pokok dan
menentukan indeks bias yang sesuai ni = , i = 1, 2, 3. Kemudian, D -E
hubungan menjadi:

Gambar 4.6.1 Gelombang bidang seragam dalam medium birefringent.

Untuk media biaksial, tiga ni semuanya berbeda. Untuk media uniaksial, kita mengambil
sumbu xy menjadi biasa, dengan n1 = n2 = tidak, dan sumbu-z menjadi luar biasa, dengan
n3 = ne. † Vektor gelombang k dapat diselesaikan sepanjang arah z dan x sebagai berikut:

k = k ḱ = k (ẍsinθ + ẑcos θ) = ẍ k_x +ẑk_z (4.6.6)

Hubungan ω-k ditentukan dari solusi persamaan Maxwell. Dengan
analogi dengan kasus isotropik yang memiliki k = nk₀ = nω / c₀, kita dapat mendefinisikan efektif
indeks bias N sehingga:

Kita akan lihat dalam Persamaan. (4.6.2) dengan menyelesaikan persamaan Maxwell bahwa N bergantung pada polarisasi yang dipilih (menurut Gambar 4.6.1) dan pada arah vektor gelombang θ:

Untuk kasus TM, kita dapat menulis ulang hubungan N-θ dalam bentuk:

Mengalikan dengan k2 dan menggunakan k0 = k / N, dan kx = k sin θ, kz = k cos θ, kita memperoleh
ω -k hubungan untuk kasus TM:

4.6. Oblique Propagation di Media Birefringent

Dengan demikian, mode TE menyebar seolah-olah mediumnya isotropik dengan indeks n = n2,
sedangkan mode TM menyebar dengan cara yang lebih rumit.

Untuk mode TM, kecepatan grup tidak sepanjang k. Secara umum, kecepatan grup
tergantung pada hubungan ω-k dan dihitung sebagai v = ∂ω / ∂k. Dari Persamaan. (4.6.10), kita
menemukan komponen x dan z:

Vektor kecepatan v tidak sejajar dengan k. Sudut θ ¯ bahwa v bentuk-bentukdengan sumbu-z
diberikan oleh tan θ ¯ = vx / vz. Ini mengikuti dari (4.6.12) bahwa:

Jelas,

Arah relatif dari k dan v ditunjukkan pada Gambar 4.6.2.

Kecepatan kelompok juga sama dengan kecepatan transportasi energi yang didefinisikan dalam hal
Poynting vektor P dan densitas energi w sebagai v = P / w. Jadi, v dan P memilikisama
arah yang. Selain itu, dengan medan listrik yang ortogonal terhadap vektor Poynting,
sudut θ ¯ juga sama dengan sudut bentuk E-field dengan sumbu x.

Gambar 4.6.2 Arah kecepatan kelompok, vektor Poynting, vektor gelombang, dan medan listrik.

Selanjutnya, kita memperoleh Persamaan. (4.6.8) untuk N dan pecahkan komponen lapangan dalam kasus TM dan TE. Kami mencari solusi propagasi persamaan Maxwell dari tipe
E(r) = E ej k·r dan H(r) = H ej k·r. Mengganti operator gradien dengan ∇ → jk dan
membatalkan beberapa faktor j, persamaan Maxwell mengambil bentuk:

Dua persamaan terakhir yang tersirat oleh dua yang pertama, seperti yang dapat dilihat oleh menghiasi kedua sisi dua yang pertama dengan k. Mengganti k = k k ˆ = Nk0k ˆ, di mana N masih harus ditentukan, kita dapat menyelesaikan hukum Faraday untuk H dalam hal E :

dimana kita menggunakan η0 = c0μ0. Kemudian, hukum Amp`s memberi:

dimana kami menggunakan c0η0 = 1 / ϵ₀. Kuantitas k ˆ × (E×k ˆ) dikenal sebagai komponen
E yang melintang ke vektor unit propagasi k ˆ. Dengan menggunakan identitas vektor BAC-CAB,

kita memiliki k ˆ × (E × k ˆ) = E - k ˆ (k ˆ · E). Menata ulang istilah, kita memperoleh:

Untuk mendapatkan solusi TE dan TM, kami berasumsi awalnya bahwa E memiliki semua tiga komponen dan menulis ulang Persamaan. (4.6.16) komponen-bijaksana. Menggunakan Persamaan. (4.6.5) dan mencatat bahwa k ˆ · E = Ex cos θ + Ez cos θ, kita memperoleh sistem linear homogen:

4.6. Oblique Propagation di Birefringent Media di

mana faktor fase propagasi TE adalah:

dimana faktor fase propagasi TE adalah:

Menggunakan identitas sin2 θ + cos2 θ = 1, kita dapat menulis ulang Persamaan. (4.6.20) dalam bentuk matriks:

Mengatur determinan matriks koefisien ke nol, kita memperoleh kondisi yang diinginkan pada N agar solusi non-nol Ex, Ez ada:

Ini dapat dipecahkan untuk N2 untuk memberikan Persamaan. (4.6.9). Dari itu, kita juga dapat memperoleh berikut hubungan, yang akan terbukti berguna dalam menerapkan hukum Snel di media birefringent:

Dengan bantuan hubungan yang diberikan dalam Soal 4.16, solusi dari sistem homogen (4.6.20) ditemukan menjadi, hingga konstanta proporsionalitas:

Konstanta A dapat dinyatakan dalam besaran total bidang E0 =
|E| = | Ex | 2 + | Ez | 2. Menggunakan hubungan (4.7.11), kita menemukan (dengan asumsi A> 0):

Medan magnet H juga dapat diekspresikan dalam bentuk konstanta A. Kita memiliki:

faktor fase propagasi TM adalah:

= (z cosθ+x sin θ)

(TM propagation factor)

Solusinya telah dimasukkan ke dalam bentuk yang menunjukkan batas yang tepat pada θ = 0o dan

90o. Ini setuju dengan Persamaan. (4.6.3) dalam kasus isotropik. Sudut yang E bentuk dengan sumbu x

pada Gambar 4.6.2 diberikan oleh tan ¯θ = −Ez / Ex dan setuju dengan Persamaan. (4.6.13).

Selanjutnya, kita mendapatkan ekspresi untuk vektor Poynting dan kerapatan energi. Itu berputar

out-seperti yang umum dalam masalah propagasi dan waveguide-bahwa energi magnetik

densitas sama dengan listrik. Menggunakan Persamaan. (4.6.27), kami menemukan:

dan untuk kerapatan energi listrik, magnetik, dan total:

Vektor P adalah ortogonal terhadap E dan arahnya adalah θθ yang diberikan oleh Persamaan. (4.6.13), sebagaimana bisa diverifikasi dengan mengambil rasio tan ¯θ = Px / Pz. Kecepatan transportasi energi adalah rasio fluks energi ke kerapatan energi — ini sesuai dengan kecepatan kelompok (4.6.12):

v =

= Co (ˆx

sinθ + ˆz

cosθ ) (4.6.31)

Polarizer memungkinkan cahaya terpolarisasi linier ke arah vektor satuan ˆep = ˆx cosθp + ˆy sinθp, seperti ditunjukkan pada Gambar 4.7.1. Output dari polarizer menjalar ke arah z melalui retarder birefringent linear dengan panjang l, dengan birefringent refractiveindeks n1, n2, dan retardance φ = (n1 - n2) k0l.

Output E (l) dari sampel birefringent melalui analisis polarizer linear itu memungkinkan melalui polarisasi melalui vektor satuan ˆea = ˆx cosθa + ˆy sinθa. Tunjukkan bahwa cahaya Intensitas pada output dari analisa diberikan oleh:

Ia = | ˆea . · E(l) | = | cosθa cosθp + + ejφ sinθa sinθp |

Untuk sampel birefringent melingkar yang memperkenalkan rotasi alami atau Faraday φ =(k + - k−) l / 2, menunjukkan bahwa intensitas cahaya output adalah:

Ia = | ˆea · E(l) | = cos2(θp −θa −φ)

Propagasi dalam Media Birefringent

4.6 Gelombang polarisasi linier dengan arah polarisasi pada sudut θ dengan sumbu x berjalan

melalui retarder birefringent melingkar yang memperkenalkan rotasi optik dengan sudut

φ = (k + - k−) l / 2. Tunjukkan bahwa arah polarisasi input dan output akan menjadi:

x cosθ + ˆy sinθ → ˆx cos(θ − φ)+ˆy sin(θ − φ)

Konduktor dan plasma menunjukkan perilaku gyroelectric ketika mereka berada di hadapan suatu

medan magnet luar. Persamaan gerak konduksi elektron dalam magnet konstan

lapangan adalah m˙v = e (E + v × B) −mαv, dengan istilah redaman collisional disertakan. Itu

medan magnet dalam arah-z, B = ˆzB0.Asumsikan waktu ketergantungan dan dekomposisi semua vektor dalam basis melingkar (4.1.1), misalnya, v = ˆe + v + + ˆe − v− + ˆz vz, menunjukkan bahwa solusi dari persamaan gerak adalah:di mana ωB = eB0 / m adalah frekuensi siklotron. Kemudian, tunjukkan bahwa D − E konstitutif.

hubungan mengambil bentuk Persamaan. (4.4.1) dengan:

dimana ω2

p = Ne2 / m_0 adalah frekuensi plasma dan N, jumlah elektron konduksi

per satuan volume.

Propagasi dalam Media Birefringent

di mana γ adalah rasio gyromagnetic dan τ = 1 / α, konstanta waktu relaksasi.

Dengan asumsi itu | H | _ H0 dan | M | _ M0, tunjukkan bahwa versi yang dilinearisasi dari persamaan ini

diperoleh dengan menjaga hanya urutan pertama dalam H dan M adalah:

di mana ωM = γM0, ωH = γH0, dan χ0 = M0 / H0. Bekerja dalam basis melingkar (4.1.1), menunjukkan

bahwa solusi dari persamaan ini adalah:

Menulis B = μ0 (H + M), menunjukkan bahwa matriks permeabilitas memiliki bentuk gipromagnetik

Persamaan. (4.4.2) dengan μ1 ± μ2 = μ ± = μ0 (1 + χ ±) dan μ3 = μ0. Tunjukkan bahwa bagian nyata dan imajiner dari μ1 diberikan oleh [750]:

Turunkan ekspresi serupa untuk Re (μ2) dan Im (μ2).

4.14 Gelombang bidang yang seragam, Ee − jk • r dan He − jk • r, menyebar ke arah vektor unit ˆ k = ˆz_ = ˆz cosθ + ˆz sinθ yang ditunjukkan pada Gambar 2.10.1 dalam medium gyroelectric dengan hubungan konstitutif ( 4.4.1) .Menunjukkan bahwa Persamaan. (4.6.14) - (4.6.16) tetap berlaku asalkan kita mendefinisikan indeks bias efektif N melalui wavevector k = kˆk, di mana k = Nk0, k0 = ω√μ_0. Bekerja dalam basis circular-polarization (4.1.1), yaitu, E = ˆe + E + + ˆe − E− + ˆz Ez, di mana E ± = (Ex + jEy) / 2, menunjukkan bahwa Persamaan. (4.6.16) mengarah ke sistem homogen:

di mana ꞓ ± = ꞓ1 ± ꞓ2. Atau, tunjukkan bahwa dalam basis polarisasi linear:

Untuk salah satu basis, pengaturan determinan matriks koefisien ke nol, menunjukkan bahwa solusi E non nol ada asalkan N2 adalah salah satu dari dua solusi: